יסודות — השפה הסטטיסטית

הפרק הזה הוא רשת הביטחון. כל שאר הנושאים באפליקציה מניחים שהמושגים כאן מוכרים, ולכן אם משהו בהם נשמע לא ברור — כמעט תמיד החוסר נמצא כאן, ולא שם.

אם הרקע שלכם בסטטיסטיקה רחוק, שווה לקרוא אותו במלואו פעם אחת. אחרי זה הוא בנוי כדי לחזור אליו נקודתית: כל סעיף עומד בפני עצמו, ומילון הסימנים שבסוף הוא דף עזר לכל שאר האפליקציה.

מה סטטיסטיקה מנסה לעשות

סטטיסטיקה מתחילה מבעיה יומיומית: יש לנו הרבה תצפיות, אבל אנחנו רוצים תשובה אחת שאפשר לחשוב איתה. נניח שבדקנו אם שעת שינה נוספת קשורה לציון גבוה יותר:

שתי השאלות הראשונות הן סטטיסטיקה תיאורית: הן מסכמות את הנתונים שאספנו. שתי האחרונות מובילות לסטטיסטיקה היסקית: ניסיון ללמוד ממדגם מוגבל על אוכלוסייה רחבה יותר, תוך הכרה בכך שמדגם אחר היה נותן מספרים מעט שונים.

בכל נוסחה בהמשך שאלו קודם: מה כל מספר מייצג במציאות? רק אחר כך מציבים. מי שמזהה "ממוצע של מי", "פיזור של מה" ו"איזו אוכלוסייה מעניינת אותנו" כמעט תמיד בוחר גם את הנוסחה הנכונה.

אוכלוסייה ומדגם

ההבחנה הראשונה, וזו שכל ההסקה הסטטיסטית נשענת עליה:

הכלל שמזכיר את הכול: יווני = אוכלוסייה, לטיני = מדגם.

לחלק מהסימנים יש מובן נוסף ביחידות מאוחרות יותר — הטבלה סימנים שיש להם שני מובנים שבסוף הפרק מרכזת אותם במקום אחד.

פרמטר הוא קבוע — יש ערך אחד אמיתי ל־$\mu$, גם אם לעולם לא נדע אותו. סטטיסטי הוא משתנה — כל מדגם ייתן ערך אחר. זו ההבחנה שמאחורי כל הפרק על רווחי סמך ובדיקת השערות.

משתנים

לפני שממשיכים — ארבעה מונחים שישרתו אותנו בכל האפליקציה, ושכולם מופיעים כבר בפרק הזה:

גובה, ציון, מגדר, שעות שינה — כולם משתנים. הערכים שנאספו בפועל הם הנתונים, והדרך שבה הם מתפזרים על פני הערכים האפשריים היא ההתפלגות.

תלוי מול בלתי תלוי

הדרך הבטוחה לזהות: המשתנה התלוי הוא מה שמופיע בסוף המשפט "האם $X$ משפיע על $Y$". $Y$ הוא התלוי.

מקרה שקל לטעות בו: במחקר מתאמי אף אחד מהמשתנים לא הופעל, ולכן החלוקה לתלוי ובלתי תלוי היא בחירה של החוקר ולא עובדה שבנתונים. זו נקודה שנשאלת.

כמותי מול קטגוריאלי

ומשתנה כמותי מתחלק עוד:

• בדיד — ערכים נפרדים שאפשר לספור: מספר ילדים, מספר תשובות נכונות.
• רציף — כל ערך בטווח: גובה, זמן, משקל.

שימו לב למילה "רציף" בהמשך. בעץ בחירת המבחן, "משתנה תלוי רציף" הוא קיצור ל"בסולם רווח או מנה", והוא כולל גם משתנים בדידים כמו מספר תשובות נכונות. ההבחנה בדיד/רציף חשובה להבנה, אבל הסולם הוא שמזין את בחירת המבחן, לא היא.

המלכודת הקלאסית: קידוד מספרי של משתנה קטגוריאלי. אם מקודדים $1 =$ גבר, $2 =$ אישה, המחשב ישמח לחשב "ממוצע מגדר $= 1.6$" — ולמספר הזה אין שום משמעות. ספרה אינה הופכת קטגוריה לכמות.

ארבעת סולמות המדידה

זו טבלת המפתח של הפרק, והיא זו שמזינה בהמשך את עץ בחירת המבחן.

העמודה האחרונה היא כל הסיבה שהפרק הזה קיים. הסולם של המשתנה התלוי הוא הצומת הראשון בעץ בחירת המבחן — הוא לבדו מצמצם את הרשימה משנים־עשר מבחנים לשלושה או ארבעה, לפני שבכלל הסתכלנו על מספר הקבוצות.

כל סולם כולל את מה שמעליו ומוסיף עליו. הסולמות מסודרים כאן מהחלש לחזק.

ההבחנה שנשאלת: רווח מול מנה

ההבדל היחיד הוא אפס מוחלט — כלומר אפס שמשמעותו "אין בכלל", ולא נקודת ייחוס שרירותית.

• טמפרטורה בצלזיוס: $0$ מעלות אינו "אין חום". ולכן $20$ מעלות אינן פי שניים חמות מ־$10$ מעלות.
• מנת משכל: $0$ אינו "אין אינטליגנציה". ולכן מנת משכל של $140$ אינו פי שניים מ־$70$.
• משקל: $0$ ק"ג הוא באמת "אין משקל", ולכן $80$ ק"ג הוא באמת פי שניים מ־$40$ ק"ג.

הכלל בשורה אחת: רק בסולם מנה מותר לומר "פי כמה". בסולם רווח מותר לומר "בכמה יותר", אבל לא "פי כמה".

מה מותר בכל סולם

מלכודת נפוצה: דירוג שביעות רצון מ־$1$ עד $5$ נראה כמותי, אבל הוא סולם סדר — המרחק בין "מרוצה מאוד" ל"מרוצה" אינו בהכרח זהה למרחק בין "מרוצה" ל"ניטרלי". בפועל חוקרים כן מחשבים עליו ממוצע, וזו החלטה שאפשר לבקר.

שכיחויות

שכיחות מצטברת יחסית היא הרעיון שעומד מאחורי אחוזון: האחוזון של ציון הוא אחוז התצפיות שנמצאות מתחת אליו. (השכיחות המצטברת סופרת "עד הערך הזה ועד בכלל", והאחוזון סופר "מתחת לערך" — הבדל קטן בהגדרה, שאין לו משמעות מעשית בשאלות הבחינה.) ציון באחוזון $84$ פירושו ש־$84\%$ מהנבחנים קיבלו פחות ממנו.

מדדי מרכז

שלושת המדדים

$M = \frac{\sum X}{n}$

הסימן $\sum$ (האות היוונית סיגמא) נקרא "סכום של": $\sum X$ הוא סכום כל הערכים. הרחבה על קריאת סימנים כאלה — בסעיף קריאת נוסחה שבסוף הפרק.

דוגמה שנשתמש בה לאורך הפרק. הנתונים $2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9$:

• $\sum X = 40$, $n = 8$, ולכן $M = 40/8 = 5$.
• הסדרה כבר ממוינת; יש $8$ ערכים, ולכן החציון הוא ממוצע השניים האמצעיים: $Md = (4+5)/2 = 4.5$.
• הערך שחוזר הכי הרבה הוא $4$, ולכן $Mo = 4$.

רגישות לחריגים

זו התכונה שהכי הרבה שאלות נבנות עליה. הממוצע רגיש, החציון עמיד.

אם התצפית האחרונה בדוגמה הייתה $90$ במקום $9$, הממוצע היה קופץ מ־$5$ ל־$15.1$ — והחציון היה נשאר בדיוק $4.5$. החציון סופר מיקומים; הוא לא מסתכל כמה רחוק הערך הקיצוני נמצא.

דוגמה מספרית מ־OpenStax — ממוצע שאיש אינו מרוויח. בעיירה קטנה יש $50$ תושבים. תושב אחד מרוויח $5{,}000{,}000$ בשנה, וכל אחד מ־$49$ האחרים מרוויח $30{,}000$:

$$M = \frac{5{,}000{,}000 + 49 \times 30{,}000}{50} = 129{,}400$$

החציון הוא $30{,}000$, מפני ששני הערכים האמצעיים ברשימה הממוינת הם $30{,}000$. הממוצע, לעומת זאת, הוא $129{,}400$ — סכום שאף תושב בעיירה אינו מרוויח. הממוצע לא חושב "לא נכון"; הוא פשוט עונה על שאלה אחרת. הוא נקודת האיזון של כל הכסף, ואילו החציון מתאר טוב יותר את התושב הטיפוסי.

כששואלים איזה מדד מרכז עדיף, לא מחפשים את המדד ה"אמיתי" אלא את המדד שמתאים למטרה ולצורת הנתונים. חריג קיצוני אינו סיבה למחוק את הממוצע — הוא סיבה לפרש אותו בזהירות.

מכאן גם הכלל על צורת ההתפלגות:

הממוצע נגרר לכיוון הזנב הארוך. אפשר להפעיל את הכלל גם הפוך: אם נתון ש־$M = 70$ ו־$Md = 74$, ההתפלגות א־סימטרית שלילית, בלי לראות אף תרשים.

שימו לב לגבול של הכלל: אי־שוויון בין הממוצע לחציון אכן מעיד על א־סימטריה, אבל שוויון ביניהם אינו מעיד על סימטריה. בסדרה $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 4,\ 4,\ 10$ שלושת המדדים שווים ל־$4$, ובכל זאת ההתפלגות מוטה ימינה בבירור — מתחת למרכז יש מרחק של $3$, ומעליו $6$.

הכלי החישובי החשוב ביותר: $\sum X = M \times n$

הרבה שאלות נראות כאילו חסרים בהן נתונים, ונפתרות ברגע שמחלצים את הסכום:

$\sum X = M \times n$

דוגמה. בכיתה של $25$ תלמידים הממוצע הוא $72$. תלמיד חדש הצטרף וקיבל $97$. מה הממוצע החדש?

$\sum X = 72 \times 25 = 1800 \qquad \sum X_{new} = 1800 + 97 = 1897$ $M_{new} = \frac{1897}{26} = 72.96$

בלי חילוץ הסכום השאלה נראית בלתי פתירה. איתו היא שתי פעולות.

ממוצע משוקלל

כשמאחדים שתי קבוצות בגדלים שונים, הממוצע הכולל אינו ממוצע הממוצעים:

$M_{total} = \frac{n_1 M_1 + n_2 M_2}{n_1 + n_2}$

דוגמה. קבוצה א: $n = 20$, $M = 80$. קבוצה ב: $n = 30$, $M = 70$.

$M_{total} = \frac{20 \times 80 + 30 \times 70}{50} = \frac{1600 + 2100}{50} = \frac{3700}{50} = 74$

ממוצע הממוצעים היה נותן $75$ — והוא שגוי, כי הוא מתייחס לשתי הקבוצות כאילו היו באותו גודל. הממוצע הכולל תמיד נמשך לכיוון הקבוצה הגדולה יותר.

שתי הקבוצות שוות בגודלן ⟵ ממוצע הממוצעים כן נכון. זה המקרה היחיד.

מדדי פיזור

ממוצע לבדו אינו מתאר התפלגות. לשתי הקבוצות $[50, 50, 50]$ ו־$[10, 50, 90]$ אותו ממוצע בדיוק — והן שונות לגמרי.

טווח וטווח בין-רבעוני

• טווח $= X_{max} - X_{min}$. בדוגמה שלנו: $9 - 2 = 7$. פשוט, ותלוי כולו בשתי תצפיות — ולכן רגיש מאוד לחריגים.
• תחום בין־רבעוני (IQR) $= Q_3 - Q_1$. $Q_1$ הוא הערך שרבע מהתצפיות מתחתיו, ו־$Q_3$ הערך ששלושה רבעים מתחתיו — כלומר האחוזון ה־25 וה־75. התחום ביניהם מכסה את המחצית האמצעית של הנתונים, מתעלם משני הקצוות, ולכן הוא עמיד בפני חריגות בדיוק כמו החציון.

בדוגמה שלנו: המחצית התחתונה היא $2,\ 4,\ 4,\ 4$ ולכן $Q_1 = 4$; המחצית העליונה היא $5,\ 5,\ 7,\ 9$ ולכן $Q_3 = (5+7)/2 = 6$. התחום הבין־רבעוני הוא $6 - 4 = 2$.

למה מרבעים — סכום הסטיות תמיד אפס

הרעיון הטבעי למדוד פיזור הוא "כמה כל תצפית רחוקה מהממוצע", כלומר הסטייה $X - M$. אבל:

$\sum (X - M) = 0$

וזה נכון תמיד, בכל מערך נתונים.

בדוגמה שלנו הסטיות הן $-3, -1, -1, -1, 0, 0, +2, +4$, וסכומן אפס. זה לא מקרה — זו תכונה מגדירה של הממוצע: הוא הנקודה שמאזנת את הסטיות. ולכן סטייה ממוצעת אינה יכולה לשמש מדד פיזור: היא אפס בכל מערך נתונים, בין שהוא מרוכז ובין שהוא פזור.

הפתרון הוא לרבע כל סטייה לפני הסכימה, וכך כל התרומות חיוביות. הסכום שמתקבל הוא סכום הריבועים:

$SS = \sum (X - M)^2$

בדוגמה: $9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32$.

$SS$ אינו רק שלב בדרך. הוא המושג שכל פרק ה־ANOVA בנוי עליו, ושם הוא מתפרק ל־$SS_B$ ול־$SS_W$. שווה להכיר אותו בשמו כבר עכשיו.

שונות וסטיית תקן

שונות היא סכום הריבועים חלקי המכנה המתאים — בגסות, הסטייה הריבועית הממוצעת. איזה מכנה בדיוק תלוי בשאלה אם הנתונים הם אוכלוסייה או מדגם, וזה נושא הסעיף הבא:

$\sigma^2 = \frac{SS}{N} \qquad S^2 = \frac{SS}{n-1}$

סטיית תקן היא השורש שלה:

$\sigma = \sqrt{\sigma^2} \qquad S = \sqrt{S^2}$

בדוגמה, כשמתייחסים לנתונים כאל אוכלוסייה שלמה:

$\sigma^2 = \frac{32}{8} = 4 \qquad \sigma = 2$

מדוע צריך את שניהם. השונות נוחה מתמטית (היא מתפרקת ומתחברת), אבל היחידות שלה מרובעות — "נקודות בריבוע" הוא לא דבר שאפשר לפרש. סטיית התקן חוזרת ליחידות המקוריות, ולכן היא זו שמדווחים.

כאשר $S^2 > 1$ סטיית התקן קטנה מהשונות, וכאשר $0 < S^2 < 1$ היא גדולה ממנה (ב־$S^2 = 1$ ו־$S^2 = 0$ הן שוות). אל תניחו שהשונות תמיד גדולה יותר.

מתי מחלקים ב־$N$ ומתי ב־$n-1$

מה שקובע הוא המטרה, לא הסימן. ברירת המחדל בכל האפליקציה: $S^2$ פירושו חלוקה ב־$n-1$, אלא אם נאמר אחרת במפורש. ביחידת המתאם נכתוב שונות, שונות משותפת וסטיות תקן עם מכנה $N$ באופן עקבי, כי כך נוסחת $r$ קצרה יותר. אפשר לחשב את כולם גם עם $n-1$: הגורם המשותף מצטמצם ונותן אותו $r$. זו מוסכמת חישוב, לא הבדל בין מתאם "תיאורי" למתאם שאומד את האוכלוסייה.

ההיגיון: הסטיות במדגם נמדדות מ־$M$ של המדגם ולא מ־$\mu$ האמיתי, ו־$M$ הוא בהגדרה הנקודה שממזערת את סכום הריבועים. לכן $SS$ של מדגם יוצא קטן מדי באופן שיטתי, והחלוקה במכנה קטן יותר ($n-1$ במקום $n$) מתקנת את ההטיה הזו.

באותה דוגמה, כמדגם: $S^2 = 32/7 = 4.57$ ו־$S = 2.14$ — גדולים מהערכים שקיבלנו כאוכלוסייה, כצפוי.

המונח שנולד כאן: דרגות חופש. ה־$n-1$ הזה הוא מספר דרגות החופש ($df$) של האומד. הרעיון: אחרי שחישבנו את $M$, רק $n-1$ מהסטיות חופשיות — האחרונה כבר נקבעת מהן, כי סכום כל הסטיות חייב להיות אפס. $df$ יופיע מכאן והלאה בכל מבחן סטטיסטי: $n-1$ במבחן $t$ למדגם יחיד, $n_1+n_2-2$ לשני מדגמים, $N-k$ ב־ANOVA.

מה משנה את הפיזור ומה לא

שתי שורות שכדאי לקרוא פעמיים:

• השונות מוכפלת ב־$k^2$, ולא ב־$k$ — כי בדרך אליה מעלים את הסטיות בריבוע. זו הטעות הנפוצה ביותר בכל הפרק על טרנספורמציות.
• בהכפלה בקבוע שלילי סטיית התקן מוכפלת ב־$\lvert k \rvert$ ולא ב־$k$: היא מדד פיזור, ולכן תמיד חיובית. גם השונות, שמוכפלת ב־$k^2$, נשארת חיובית.

השורה השלישית היא מלכודת אמיתית. תצפית שווה לממוצע אינה מזיזה את הממוצע ואינה מוסיפה דבר ל־$SS$ (הסטייה שלה היא אפס) — אבל היא כן מגדילה את המכנה. בדוגמה שלנו, הוספת עוד $5$ משאירה $SS = 32$ ו־$M = 5$, אבל השונות יורדת מ־$32/8 = 4$ ל־$32/9 = 3.56$. במוסכמת המדגם אותו דבר קורה: $32/7 = 4.57$ יורד ל־$32/8 = 4$.

בסדרה קטנה אפשר לראות את זה בשלוש שורות, וגם לראות שסטיית התקן קטנה יחד עם השונות ולא רק היא. בסדרה $1,\ 2,\ 3$ הממוצע הוא $2$ ו־$SS = 1 + 0 + 1 = 2$, ולכן במוסכמת המדגם $s^2 = 2/2 = 1$ ו־$s = 1$. מוסיפים תצפית רביעית שערכה בדיוק $2$: הממוצע נשאר $2$, $SS$ נשאר $2$ — התצפית החדשה תרמה לו אפס — אבל המכנה עולה מ־$2$ ל־$3$:

$s^2 = \frac{2}{3} \approx 0.67 \qquad s = \sqrt{0.67} \approx 0.82$

היוצא מן הכלל היחיד הוא קבוצה שכל ערכיה זהים כבר מלכתחילה. שם $SS = 0$, והוספת עוד תצפית באותו ערך משאירה אותו $0$.

ומה עם החציון? הוא סופר מיקומים, ולכן התשובה בשתי השורות האחרונות היא "תלוי". בדוגמה שלנו הוספת $5$ מזיזה אותו מ־$4.5$ ל־$5$ — אבל בסדרה שבה הממוצע והחציון מתלכדים, כמו $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$, הוספת $3$ משאירה אותו בדיוק $3$. גם תצפית קיצונית אינה מבטיחה תזוזה: בסדרה $3,\ 5,\ 5,\ 5,\ 9$ הוספת $90$ משאירה את החציון $5$ בדיוק, כי שני הערכים האמצעיים החדשים שניהם $5$. זה ההבדל העמוק מהממוצע, שכל תצפית חדשה מזיזה אותו אלא אם היא שווה לו בדיוק.

תרשים קופסה

זהו התרשים שהבחינה אוהבת, כי אפשר לקרוא ממנו מרכז, פיזור, א־סימטריה וחריגים בלי לחשב דבר. הוא בנוי מחמישה מספרים בלבד:

המלכודת: הקו בקופסה הוא החציון, לא הממוצע. בהתפלגות מוטה הממוצע נמצא במקום אחר לגמרי, ותרשים הקופסה כלל אינו מציג אותו.

קריאת א־סימטריה מתרשים קופסה

זו השאלה שהבחינה באמת שואלת על תרשים קופסה, והיא נפתרת בעין. שלושה סימנים מסגירים את כיוון ההטיה, וכולם מצביעים לאותו כיוון:

• א־סימטריות חיובית (זנב ימני): החציון קרוב ל־$Q_1$, כלומר לקצה השמאלי של הקופסה; השפם הימני ארוך יותר; חריגים, אם יש, בצד הגבוה. הממוצע נגרר לכיוון הזנב, ולכן $M > Md$.
• א־סימטריות שלילית (זנב שמאלי): ההפך המדויק. החציון קרוב ל־$Q_3$, השפם השמאלי ארוך יותר, החריגים בצד הנמוך, ו־$M < Md$.

שימו לב שהממוצע אינו מופיע בתרשים. מה שקוראים ממנו הוא כיוון ההטיה, ומכיוון ההטיה מסיקים היכן הממוצע יושב ביחס לחציון — לא להפך.

דוגמה 1. תרשים קופסה של זמני המתנה במוקד, בדקות: $X_{min} = 1$, $Q_1 = 3$, $Md = 4$, $Q_3 = 9$, השפם הימני נעצר ב־$16$, ומעליו נקודה בודדת ב־$30$.

ראשית, האם $30$ באמת חריגה? $IQR = 9 - 3 = 6$, והגבול העליון הוא $Q_3 + 1.5 \times IQR = 9 + 9 = 18$, והיא עוברת אותו — ולכן היא מסומנת כנקודה והשפם נעצר לפניה, ב־$16$. עכשיו שלושת הסימנים: החציון רחוק רק $1$ מ־$Q_1$ ורחוק $5$ מ־$Q_3$; השפם הימני משתרע על $7$ דקות והשמאלי על $2$; והחריג בצד הגבוה. א־סימטריות חיובית. הממוצע נגרר ימינה, ולכן הוא גבוה מ־$4$ — למעשה די רחוק ממנו, כי תצפית אחת של $30$ מושכת חזק.

דוגמה 2. תרשים קופסה של ציונים במבחן קל: $Q_1 = 72$, $Md = 84$, $Q_3 = 88$, השפם השמאלי מגיע עד $55$ והימני עד $96$, ויש חריג ב־$30$.

$IQR = 88 - 72 = 16$, והגבול התחתון הוא $72 - 24 = 48$ — ואכן $30$ מתחתיו ו־$55$ מעליו, כך שהשפם עוצר ב־$55$. החציון רחוק $12$ מ־$Q_1$ ורק $4$ מ־$Q_3$, השפם השמאלי משתרע על $17$ נקודות מול $8$ בימני, והחריג בצד הנמוך. א־סימטריות שלילית: רוב הנבחנים הצליחו, וזנב קצר של נכשלים מושך את הממוצע מטה — $M < 84$. זה בדיוק המצב שבו דיווח הממוצע לבדו מטעה, ומדווחים חציון.

המלכודת הכפולה. ראשית, שפם ארוך אינו "הרבה נתונים". בכל שפם יש בדיוק רבע מהתצפיות, גם כשהוא ארוך פי חמישה מזה שממול — אורכו מודד מרחק, לא כמות. הצד הארוך הוא הזנב, כלומר הצד הדליל; רוב הנתונים דחוסים בקופסה ובשפם הקצר. ושנית, קופסה סימטרית אינה התפלגות סימטרית: אם $Q_1 = 40$, $Md = 50$ ו־$Q_3 = 60$ אבל השפם השמאלי נעצר ב־$36$ והימני ב־$85$, החציון במרכז הקופסה בדיוק — ובכל זאת יש כאן זנב ימני ברור. הקופסה מתארת רק את המחצית האמצעית; הזנבות נמצאים כולם מחוץ לה.

היסטוגרמה מול תרשים עמודות

שני תרשימים שנראים כמעט זהים, וההבדל ביניהם הוא בדיוק ההבחנה שכבר למדנו:

הרווח בין העמודות אינו קישוט: הוא אומר "אין כאן רצף". בהיסטוגרמה העמודות נוגעות כי הערכים באמת ממשיכים זה את זה.

צורת ההתפלגות

דו-שיאיות היא סימן שכדאי להכיר: היא כמעט תמיד מעידה שהנתונים מערבבים שתי קבוצות שונות. אותו רעיון חוזר בהמשך כמשתנה מתערב וכפרדוקס סימפסון.

ההתפלגות הנורמלית

התפלגות סימטרית, חד־שיאית ופעמונית שממנה נגזרות כמעט כל הטבלאות בבחינה:

$68\%$ מהתצפיות נמצאות בתוך סטיית תקן אחת מהממוצע, $95\%$ בתוך שתיים, וכ־$99.7\%$ בתוך שלוש. הכלל הזה נכון רק להתפלגות נורמלית — בהתפלגות עקומה אין שום ערובה שהוא מתקיים.

הציר האופקי בתרשים מודד מרחק ביחידות של סטיית תקן. למספר הזה קוראים ציון תקן, והוא הנושא של הפרק הבא.

קריאת נוסחה

שלושה סימנים שחוזרים בכל האפליקציה:

סדר הפעולות בתוך $\sum$ הוא מבפנים החוצה. $\sum (X - M)^2$ פירושו: חשבו $X - M$ לכל תצפית, רבעו כל תוצאה, ורק אז סכמו. זה אינו אותו דבר כמו $\left(\sum (X-M)\right)^2$, שהיה יוצא אפס תמיד.

מילון הסימנים

הסימנים החוזרים ביותר באפליקציה, במקום אחד. שווה לחזור לכאן בכל פעם שסימן נראה זר. (סימנים שמופיעים ביחידה אחת בלבד מוסברים במקומם.)

סימנים שיש להם שני מובנים

זה החלק שבאמת מפיל. חמישה סימנים משמשים לשני דברים שונים, וההקשר הוא היחיד שמכריע:

מה ממשיך מכאן

מלכודות לסיכום

• יווני = אוכלוסייה, לטיני = מדגם. $\mu$ קבוע, $M$ משתנה ממדגם למדגם.
• קוד מספרי אינו הופך קטגוריה לכמות. אין ממוצע למשתנה שמי.
• "פי כמה" מותר רק בסולם מנה. IQ וטמפרטורה בצלזיוס הם סולם רווח.
• סכום הסטיות מהממוצע הוא תמיד אפס — ולכן מרבעים.
• ממוצע של ממוצעים שגוי כשהקבוצות בגדלים שונים.
• $\sum X = M \times n$ פותר שאלות שנראות חסרות נתונים.
• הוספת תצפית השווה לממוצע מקטינה את השונות.
• הממוצע נגרר לכיוון הזנב; החציון עמיד בפני חריגים.
• כלל 68–95–99.7 תקף רק להתפלגות נורמלית.