יסודות — השפה הסטטיסטית

הפרק הזה בונה את השפה שעליה נשענים כמעט כל הנושאים בהמשך: ממוצע, פיזור, משתנים, סולמות מדידה, שכיחויות, צורת התפלגות והסימנים שמופיעים בנוסחאות.

המטרה אינה לזכור רשימת הגדרות. המטרה היא להבין מה כל מספר אומר על הנתונים.

כדאי לחזור לאורך הפרק לשלוש שאלות:

1. על מי אנחנו מדברים? אוכלוסייה או מדגם?
2. מה אנחנו מתארים? מרכז, פיזור, מיקום או קשר?
3. מה המספר מייצג במציאות?

אם שלוש השאלות האלה ברורות, גם הנוסחאות נעשות הרבה פחות מאיימות. ואם משהו בנושאים מתקדמים נשמע לא ברור, כמעט תמיד החוסר נמצא כאן.

מה סטטיסטיקה מנסה לעשות

מחקר יכול לייצר עשרות, מאות או אלפי תצפיות. הבעיה היא שאי אפשר לחשוב על כולן בבת אחת.

סטטיסטיקה נותנת לנו דרך לדחוס הרבה נתונים למספרים שמספרים משהו שימושי. נניח שאספנו נתונים על שעות שינה ועל ציונים במבחן:

שלוש השאלות הראשונות עוסקות במה שכבר ראינו בנתונים. זו סטטיסטיקה תיאורית: היא מסכמת את הנתונים שיש לנו. גם המתאם שייך לכאן: "בקרב $200$ הסטודנטים שבדקנו, מי שישנו יותר נטו לקבל ציונים גבוהים יותר" הוא תיאור של הנתונים שאספנו, לא פחות מממוצע.

השאלה האחרונה מנסה להשתמש במה שמצאנו במדגם כדי ללמוד משהו רחב יותר: "האם קשר דומה קיים גם בקרב כלל הסטודנטים?" זו סטטיסטיקה היסקית: ניסיון ללמוד ממדגם מוגבל על אוכלוסייה רחבה יותר, תוך הכרה בכך שמדגם אחר היה נותן מספרים מעט שונים. ההבדל אינו במדד אלא בשאלה: אותו מתאם הוא תיאור כשהוא על המדגם, והסקה כשמשתמשים בו כדי לטעון על האוכלוסייה.

נניח שאנחנו רוצים לדעת מה ממוצע שעות השינה של כל הסטודנטים לפסיכולוגיה בישראל. בדרך כלל לא נמדוד את כולם; ניקח מדגם, למשל $200$ סטודנטים. אבל אילו היינו בוחרים $200$ סטודנטים אחרים, כנראה היינו מקבלים ממוצע מעט שונה. סטטיסטיקה היסקית עוסקת בדיוק באי־הוודאות הזאת: איך משתמשים במדגם מוגבל כדי ללמוד על אוכלוסייה רחבה יותר?

מתי שאלה היא שאלה סטטיסטית

לא כל שאלה על העולם דורשת סטטיסטיקה, ויש הבחנה חדה בין השתיים: שאלה היא סטטיסטית אם כדי לענות עליה צריך לאסוף נתונים שיש בהם שונוּת - תשובות שנבדלות זו מזו. שאלה שנענית במדידה אחת ויחידה אינה סטטיסטית.

וזה גם ההסבר לכך שהפרק הזה קיים. אילו כל הנבדקים היו נותנים בדיוק אותה תשובה, לא היה צורך לא בממוצע, לא בפיזור ולא במדגם - מספר אחד היה מתאר את כולם במדויק. השונות היא מה שמכריח אותנו לסכם, והיא גם מה שהופך כל סיכום לחלקי. שאלו על כל שאלה בבחינה: מדובר על מדידה אחת או על התפלגות של הרבה מדידות?

השורה האחרונה בטבלה היא המקום שבו הכלל מפתיע: השאלה נוגעת לאדם אחד, ובכל זאת היא סטטיסטית - כי "זמן התגובה של דנה" אינו מספר אחד אלא $40$ מספרים שנבדלים זה מזה מניסיון לניסיון, ומישהו צריך לסכם אותם. מה שקובע אינו כמה אנשים נמדדו, אלא כמה מדידות יש ואם הן שונות זו מזו.

בכל נוסחה בהמשך שאלו קודם: מה כל מספר מייצג במציאות? רק אחר כך מציבים. מי שמזהה "ממוצע של מי", "פיזור של מה" ו"איזו אוכלוסייה מעניינת אותנו" כמעט תמיד בוחר גם את הנוסחה הנכונה.

אם זוכרים דבר אחד: סטטיסטיקה תיאורית מסכמת את הנתונים שיש לנו; סטטיסטיקה היסקית משתמשת בהם כדי להסיק על אוכלוסייה רחבה יותר.

אוכלוסייה ומדגם

ההבחנה הראשונה, וזו שכל ההסקה הסטטיסטית נשענת עליה, היא בין אוכלוסייה למדגם: אוכלוסייה היא כל הפרטים שעליהם רוצים להסיק; מדגם הוא תת־הקבוצה שנמדדה בפועל. מספר שמתאר אוכלוסייה נקרא פרמטר, מספר שמתאר מדגם נקרא סטטיסטי, והכלל שמזכיר את הסימון הוא שפרמטרים של אוכלוסייה מסומנים לרוב באותיות יווניות וסטטיסטים של מדגם באותיות לטיניות: $\mu$ מול $M$, $\sigma$ מול $S$, $\rho$ מול $r$. חריג שימושי לזכור: גודל האוכלוסייה מסומן $N$ וגודל המדגם $n$ - שתיהן לטיניות, וההבחנה כאן היא בין אות גדולה לקטנה.

פרמטר הוא קבוע - יש ערך אחד אמיתי ל־$\mu$, גם אם לעולם לא נדע אותו; סטטיסטי הוא משתנה - כל מדגם ייתן ערך אחר. כל ההסקה הסטטיסטית היא ניסיון ללמוד על פרמטר בלתי ידוע מתוך סטטיסטי ידוע, וזו ההבחנה שמאחורי כל הפרק על רווחי סמך ובדיקת השערות.

הנקודות הצבועות בתוך העיגול הגדול הן אותן תצפיות עצמן שנכנסו למדגם: החץ העליון הוא הדגימה, שנעה מהאוכלוסייה אל המדגם, והחץ התחתון הוא ההסקה, שנעה בכיוון ההפוך - מהמספר שמדדנו אל המספר שלעולם לא נמדוד.

לחלק מהסימנים יש מובן נוסף ביחידות מאוחרות יותר - הטבלה סימנים שיש להם שני מובנים שבסוף הפרק מרכזת אותם במקום אחד.

משתנים

ארבע מילים חוזרות כמעט בכל פרק: משתנה, תצפית, נתונים והתפלגות. משתנה הוא התכונה שנמדדת ושיכולה לקבל ערכים שונים אצל נבדקים שונים; תצפית היא מדידה אחת, נתונים הם אוסף התצפיות כפי שנאספו, והתפלגות היא אילו ערכים התקבלו בפועל וכמה פעמים. אם מודדים שעות שינה, "מספר שעות השינה" הוא המשתנה, "דנה ישנה $6$ שעות" היא תצפית אחת, כל המספרים שנאספו הם הנתונים, והחלוקה שלהם לערכים כמו $5$, $6$ ו־$7$ שעות היא ההתפלגות.

משתנה כמותי מקבל מספרים שמייצגים כמות, ומתחלק לבדיד (ערכים נפרדים שאפשר לספור - מספר תשובות נכונות) ולרציף (כל ערך בטווח - זמן תגובה, גובה); משתנה קטגוריאלי מציין שיוך לקבוצה בלבד - מגדר, עיר מגורים, סוג טיפול. לקטגוריאלי אין ממוצע, ולכן הסיווג הזה מסנן מיד חלק מהמדדים והמבחנים.

העץ מראה ששתי ההחלטות אינן באותה דרגה: הפיצול הראשון, כמותי מול קטגוריאלי, הוא זה שקובע אם בכלל יש ממוצע - והפיצול השני, בדיד מול רציף, מתרחש כולו בתוך הענף הכמותי ואינו מוסיף או מוריד מדד.

ארבעת המונחים במבט אחד - הם ישרתו אותנו בכל האפליקציה:

גובה, ציון, מגדר, שעות שינה - כולם משתנים. הערכים שנאספו בפועל הם הנתונים, והדרך שבה הם מתפזרים על פני הערכים האפשריים היא ההתפלגות.

מי הנבדקים ומי המשתנים

נתונים מגיעים כמעט תמיד כטבלה, ובה לכל נבדק שורה ולכל משתנה עמודה. "נבדק" אינו בהכרח אדם - הוא היחידה שנמדדת, ולעיתים קרובות היא משהו אחר לגמרי:

כאן הנבדקים הם הדירות, ויש ארבעה משתנים: שכונה, מספר חדרים, קומה ושכר דירה. העמודה הראשונה אינה משתנה אלא מזהה - היא רק אומרת על איזו שורה מדובר, ואין שום טעם לחשב עליה דבר. מבין ארבעת המשתנים אחד בלבד קטגוריאלי (שכונה) ושלושת האחרים כמותיים.

השאלה שנשאלת על טבלה כזו היא בדרך כלל "כמה משתנים יש כאן, וכמה מהם קטגוריאליים?", ושתי המלכודות קבועות: לספור את עמודת המזהה כמשתנה, ולהניח שהשורות הן אנשים כשהן בכלל דירות, כיתות, מוצרים או ימים.

כמותי מול קטגוריאלי

ומשתנה כמותי מתחלק עוד:

• בדיד - ערכים נפרדים שאפשר לספור: מספר ילדים, מספר תשובות נכונות.
• רציף - כל ערך בטווח: גובה, זמן, משקל.

ההבחנה בדיד/רציף קובעת איך הנתונים יוצגו בהמשך - טבלת שכיחויות של ערכים בודדים מול מחלקות של טווח - ואיך לקרוא מדידה שדווחה בעיגול: זמן בשניות שלמות נשאר רציף. מה שקובע איזה מדד ואיזה מבחן מותר הוא הסולם, בסעיף הבא.

המלכודת הקלאסית: קידוד מספרי של משתנה קטגוריאלי. אם מקודדים $1$ = גבר, $2$ = אישה, המחשב ישמח לחשב "ממוצע מגדר $= 1.6$" - ולמספר הזה אין שום משמעות. ספרה אינה הופכת קטגוריה לכמות.

תלוי מול בלתי תלוי

בכל תיאור מחקר יש למשתנים שני תפקידים, וזיהוי התפקידים הוא הצעד הראשון בקריאת המחקר. הבלתי תלוי הוא מה שמשפיע או מה שמחלק לקבוצות - בניסוי, מה שהחוקר מפעיל. התלוי הוא מה שנמדד כתוצאה. הדרך הבטוחה לזהות: המשתנה התלוי הוא מה שמופיע בסוף המשפט "האם $X$ משפיע על $Y$" - כלומר $Y$. בשאלה "האם שעות השינה משפיעות על רמת הריכוז?" שעות השינה הן הבלתי תלוי ורמת הריכוז היא התלוי. התפקידים קובעים מה מנבא את מה, ובהמשך גם איזה מבחן מתאים.

מקרה שקל לטעות בו: אין צורך בניסוי כדי שהחלוקה תהיה תקפה. גם במחקר מתאמי אף אחד מהמשתנים לא הופעל, ובכל זאת החלוקה קיימת - היא נגזרת מניסוח שאלת המחקר ולא מהנתונים עצמם. מה שדורש ניסוי הוא מסקנה סיבתית, לא זיהוי המשתנים - וזו בדיוק ההבחנה שהבחינה אוהבת לבדוק.

התפקיד שייך למשפט, לא למשתנה. באותו מחקר נבדקו שתי שאלות: האם מספר שעות האימון בשבוע משפיע על רמת הכושר? והאם רמת הכושר מנבאת את שביעות הרצון מהגוף? רמת הכושר היא התלוי בשאלה הראשונה - היא מה שנמדד כתוצאה משעות האימון - והבלתי תלוי בשנייה, כי ממנה מנבאים. אותו משתנה, שני תפקידים. לכן אין לזהות תפקיד לפי המשתנה עצמו ("כושר תמיד נמדד, לכן תלוי") אלא לפי המשפט שבו הוא מופיע. ומכאן גם הספירה שמבקשים בתיאור ניסוי: כמה משתנים החוקר מפעיל (בלתי תלויים, וכמה רמות לכל אחד), וכמה הוא מודד (תלויים) - רמה של משתנה אינה משתנה, ושני מדדים של "ביצוע" הם שני תלויים.

בניבוי - הניסוח משתנה, החלוקה לא. כששואלים "מה מנבא מה", המנבא הוא הבלתי תלוי והמנובא הוא התלוי: בשאלה "האם ציון הבגרות מנבא את הממוצע בתואר?" ציון הבגרות הוא הבלתי תלוי. הבדיקה המהירה: מה נתון לנו, ומה אנחנו רוצים לדעת?

ארבעת סולמות המדידה

אותו מספר, ארבע פעמים: בסוף מרוץ עשר הקילומטרים בפארק, ארבע שאלות מקבלות בדיוק אותה תשובה. מה מספר החזה שהוצמד לכם? מה המקום שבו סיימתם? מה מידת הנעל שלכם? כמה דקות ארכה לכם הריצה? התשובה לארבעתן היא $9$. לחברתכם שרצה איתכם התשובה לארבעתן היא $12$. מה מותר להסיק מ־$9$ מול $12$ בכל שאלה?

• מספר חזה - כלום מלבד זה שהמספרים שונים. שיוך בלבד (שמי).
• מקום - שסיימתם לפניה. יש דירוג, בלי לדעת בכמה (סדר).
• מידת נעל - שלה רגל גדולה יותר בשלושה מספרים, לא "פי כמה" (רווח).
• דקות ריצה - שהזמן שלה ארוך פי $12/9 = 1.33$ מזמנכם, כלומר רצתם כ־$33\%$ מהר יותר (מנה, כי $0$ דקות פירושו שהמרוץ לא התחיל בכלל).

המספר זהה בארבעת המקרים; מה שמשתנה הוא אך ורק מה שנמדד - ולכן מה שקובע כמה מותר להסיק הוא הסולם, לא הספרה עצמה.

אלה ארבעת סולמות המדידה, וכל אחד מוסיף על קודמו: שמי - שיוך לקטגוריה בלבד; סדר - מוסיף דירוג, בלי מרחקים שווים; רווח - מוסיף מרחקים שווים, בלי אפס מוחלט; מנה - מוסיף אפס מוחלט.

שלוש שאלות, בסדר הזה, מסווגות כל משתנה: האם אפשר לסדר את הערכים מהנמוך לגבוה? (לא - שמי.) האם הבדל של יחידה אחת אומר אותו דבר לאורך כל הסולם? (לא - סדר.) האם אפס פירושו "אין כלל" מהתכונה? (לא - רווח; כן - מנה.) השאלה השנייה היא זו שנוטים לדלג עליה: דירוג שביעות רצון מ־$1$ עד $5$ אפשר לסדר, אבל אין ערובה שהמעבר מ־$1$ ל־$2$ שקול למעבר מ־$4$ ל־$5$ - ולכן הוא סולם סדר, לא רווח. מנת משכל, טמפרטורה בצלזיוס ושנת לידה עוברים את השאלה השנייה ונופלים בשלישית: $0$ אינו היעדר התכונה, ולכן $140$ אינו פי שניים מ־$70$ - סולם רווח; משקל וזמן הם סולם מנה. הטעות הנפוצה: לדלג על בדיקת האפס המוחלט ולסווג סולם רווח כמנה.

הסולם של המשתנה התלוי הוא הצומת הראשון בעץ בחירת המבחן, והוא לבדו מצמצם את רשימת המבחנים לשלושה או ארבעה.

באיור כל שורה מכילה את כל התיבות של השורה שמעליה ומוסיפה עליהן תיבה אחת, והתיבה החדשה היא בדיוק מה שהסולם הזה מתיר להסיק ולא היה מותר קודם - עד לשורה האחרונה, שבה נפתחת התיבה "פי כמה".

זו טבלת המפתח של הפרק, והיא זו שמזינה בהמשך את עץ בחירת המבחן.

העמודה האחרונה היא כל הסיבה שהפרק הזה קיים: הסולם לבדו מצמצם את הרשימה משנים־עשר מבחנים לשלושה או ארבעה, לפני שבכלל הסתכלנו על מספר הקבוצות. הסולמות מסודרים בטבלה מהחלש לחזק.

שימו לב למילה "רציף" בהמשך. בעץ בחירת המבחן, "משתנה תלוי רציף" הוא קיצור ל"בסולם רווח או מנה", והוא כולל גם משתנים בדידים כמו מספר תשובות נכונות. ההבחנה בדיד/רציף חשובה להבנה, אבל הסולם הוא שמזין את בחירת המבחן, לא היא.

התפקיד והסולם נשאלים יחד. תיאור מחקר בבחינה מבקש לרוב שני דברים על אותו משתנה בבת אחת: מה תפקידו - תלוי או בלתי תלוי - ובאיזה סולם הוא נמדד. "האם משך האימון ($15$, $30$ או $45$ דקות) משפיע על מספר הטעויות?" - משך האימון הוא הבלתי תלוי, ודקות הן סולם מנה; מספר הטעויות הוא התלוי, וגם הוא סולם מנה, כי הוא נספר. מה שמקובע בניסוי לשלוש רמות אינו הופך בגלל זה לסולם סדר: הסולם נקבע לפי מה שהמספרים מייצגים, לא לפי כמה ערכים נבחרו.

ההבחנה שנשאלת: רווח מול מנה

ההבדל היחיד הוא אפס מוחלט - כלומר אפס שמשמעותו "אין בכלל", ולא נקודת ייחוס שרירותית.

• טמפרטורה בצלזיוס: $0$ מעלות אינו "אין חום". ולכן $20$ מעלות אינן פי שניים חמות מ־$10$ מעלות.
• מנת משכל: $0$ אינו "אין אינטליגנציה". ולכן מנת משכל של $140$ אינו פי שניים מ־$70$.
• משקל: $0$ ק"ג הוא באמת "אין משקל", ולכן $80$ ק"ג הוא באמת פי שניים מ־$40$ ק"ג.

הכלל בשורה אחת: רק בסולם מנה מותר לומר "פי כמה". בסולם רווח מותר לומר "בכמה יותר", אבל לא "פי כמה".

אותו איסור חל גם על אחוזים, לא רק על "פי כמה". פרסומת שמדווחת "ציון $120$ בסולם המתא"ם גבוה ב־$20\%$ מציון $100$" עושה בדיוק את אותה טעות: הסולם בנוי סביב ממוצע $100$ בלי אפס מוחלט, ולכן $20\%$ הוא מספר שתלוי לגמרי באיפה שרירותית הוצב האפס. בדיקה ניידת לכל טענת אחוזים כזו: הזיזו את האפס וראו אם המספר משתנה. מחסירים $20$ מכל ציון - כלומר מודדים מנקודת אפס אחרת, שרירותית בדיוק כמו הקודמת - ואותם שני ציונים הופכים ל־$100$ ו־$80$, וההפרש קופץ ל־$25\%$ ($20/80 = 0.25$). מדד שמשתנה כשמזיזים רק את נקודת האפס אינו מודד יחס אמיתי - ולכן "בכמה אחוז גבוה" אסור באותה מידה בדיוק כמו "פי כמה גבוה".

מה מותר בכל סולם

הסולם קובע אילו פעולות בעלות משמעות: לספור שכיחות מותר בכל הסולמות; לדרג ולחשב חציון - מסולם סדר ומעלה; לחשב ממוצע וסטיית תקן - מסולם רווח ומעלה; לומר "פי כמה" - רק בסולם מנה. זו השורה התחתונה שמסבירה למה אין ממוצע למשתנה שמי, ולמה לסולם סדר מתאים ספירמן ולא פירסון. הטעות הנפוצה היא לחשוב שספרה הופכת קטגוריה לכמות: אם קודדו $1$ = ירושלים, $2$ = תל אביב, $3$ = חיפה, "ממוצע עיר" של $1.9$ היה יוצא מספר אחר לגמרי אילו קודדו $1$, $7$ ו־$100$ - ומדד שמשתנה כשמחליפים תוויות אינו מודד דבר. בסולם רווח, לעומת זאת, ממוצע מותר לגמרי; אסור רק לדבר ביחסים.

מלכודת נפוצה: דירוג שביעות רצון מ־$1$ עד $5$ נראה כמותי, אבל הוא סולם סדר - המרחק בין "מרוצה מאוד" ל"מרוצה" אינו בהכרח זהה למרחק בין "מרוצה" ל"ניטרלי". בפועל חוקרים כן מחשבים עליו ממוצע, וזו החלטה שאפשר לבקר.

ולמה זה לא רק כלל לשינון - הנה הממוצע נכשל בפועל. קבוצה א׳ דירגה $4,\ 4,\ 4$ וקבוצה ב׳ דירגה $1,\ 5,\ 5$: בסולם $1$–$5$ ממוצע א׳ ($4$) גבוה מממוצע ב׳ ($3.67$). עכשיו מחליפים את התוויות בהחלפה מונוטונית עולה, שמותרת לגמרי בסולם סדר: $1 \to 2$, $2 \to 5$, $3 \to 9$, $4 \to 20$, $5 \to 50$. כל נבדק שמור במקומו בדירוג, ובכל זאת ממוצע א׳ הוא עכשיו $20$ וממוצע ב׳ $34$ - ההשוואה התהפכה. מדד שמתהפך מהחלפת תוויות מותרת אינו מודד דבר, וזו כל הסיבה שבסולם סדר המדד הוא חציון: $4$ מול $5$ לפני ההחלפה, $20$ מול $50$ אחריה, ואותו סדר בשני המקרים.

אילו טרנספורמציות מותרות בכל סולם

לצד השאלה "אילו פעולות מותרות" יש שאלה תאומה: מה מותר לעשות למספרים עצמם בלי לאבד את מה שהסולם מודד? כל סולם מתיר בדיוק את הטרנספורמציות ששומרות על המידע שיש בו.

שימו לב לכיוון שקל להתבלבל בו: ככל שהסולם חזק יותר יש בו יותר מה לשמר, ולכן פחות טרנספורמציות מותרות. המרה מצלזיוס לפרנהייט ($Y = 1.8X + 32$) חוקית בסולם רווח; אותה המרה על משקל הייתה הורסת את האפס המוחלט, ולכן במנה מותרת רק הכפלה - קילוגרמים לגרמים, $Y = 1000X$.

סיכום: אוכלוסייה, משתנים וסולמות

היחידה הזאת עוד לא חישבה כלום. היא נתנה את המילים שכל חישוב בהמשך נשען עליהן. שלוש השאלות שלה חוזרות כמעט בכל שאלה בבחינה, לרוב עוד לפני שמגיעים לנוסחה: על מי מדברים, מה נמדד, ומה מותר לעשות עם המספר.

על מי מדברים

• סטטיסטיקה מתחילה בשונות. רק כשהמדידות שונות זו מזו יש מה לסכם. "כמה ישנתי אתמול" אינה שאלה סטטיסטית; זמן התגובה של דנה ב־$40$ ניסיונות הוא התפלגות. מה שקובע הוא מספר המדידות, לא מספר האנשים.
• תיאור מול הסקה: ההבדל בשאלה, לא במדד. אותו מתאם הוא תיאור כשהוא על $200$ הסטודנטים שנבדקו, והסקה כשטוענים בעזרתו על כלל הסטודנטים.
• פרמטר קבוע, סטטיסטי משתנה. יש ערך אחד אמיתי ל־$\mu$ גם אם לעולם לא נדע אותו; מדגמים שונים נותנים $M$ שונה. יווני לאוכלוסייה, לטיני למדגם: $\mu$ מול $M$, $\sigma$ מול $S$, $\rho$ מול $r$. החריג הוא הגודל, $N$ מול $n$.
• ארבע מילים: משתנה הוא התכונה שנמדדת, תצפית היא מדידה אחת, נתונים הם אוסף התצפיות, התפלגות היא אילו ערכים התקבלו וכמה פעמים.

מה נמדד

• "נבדק" הוא היחידה שנמדדת, לא בהכרח אדם. בטבלת שכר הדירה הנבדקים הם הדירות, ועמודת המזהה אינה משתנה: ארבעה משתנים, אחד מהם (שכונה) קטגוריאלי.
• הפיצול הראשון קובע אם בכלל יש ממוצע; השני אינו קובע. כמותי מול קטגוריאלי מחליט אילו מדדים מותרים; בדיד מול רציף מחלק בתוך הכמותי ואינו פוסל אף מדד. ספרה אינה הופכת קטגוריה לכמות: "ממוצע מגדר $1.6$" הוא מספר בלי משמעות.
• התפקיד שייך למשפט, לא למשתנה. "האם $X$ משפיע על $Y$": התלוי הוא $Y$. רמת הכושר היא התלוי כשמנבאים אותה משעות אימון, והבלתי תלוי כשמנבאים ממנה שביעות רצון. החלוקה קיימת גם במחקר מתאמי; מה שדורש ניסוי הוא מסקנה סיבתית.
• בספירת משתנים בניסוי: רמה של משתנה אינה משתנה, ושני מדדים של ביצוע הם שני תלויים.

מה מותר לעשות עם המספר

שלוש שאלות, בסדר: יש דירוג? הבדל של יחידה שווה לאורך כל הסולם? האפס פירושו "אין כלל"?

• השאלה שמדלגים עליה היא השנייה. דירוג שביעות רצון $1$–$5$ אפשר לסדר, אבל אין ערובה שהמעבר מ־$1$ ל־$2$ שקול למעבר מ־$4$ ל־$5$. בסולם סדר הממוצע יכול להתהפך מהחלפת תוויות מותרת: $4,\ 4,\ 4$ מול $1,\ 5,\ 5$.
• רווח מול מנה: ההבדל היחיד הוא אפס מוחלט. מנת משכל $140$ אינה פי שניים מ־$70$; $80$ ק"ג כן פי שניים מ־$40$. וגם "בכמה אחוז" אסור ברווח: $120$ מול $100$ הוא "$20\%$", ואחרי הזזת האפס $100$ מול $80$ הוא "$25\%$".
• הסולם נקבע לפי מה שהמספרים מייצגים, לא לפי כמה ערכים נבחרו. משך אימון ב־$15$, $30$ או $45$ דקות נשאר סולם מנה.
• ככל שהסולם חזק יותר, פחות טרנספורמציות מותרות: בשמי כל החלפת תוויות, בסדר כל פונקציה מונוטונית עולה, ברווח $Y = aX + b$ ($a > 0$), במנה $Y = aX$ בלבד. $Y = 1.8X + 32$ מצלזיוס לפרנהייט; $Y = 1000X$ מקילוגרם לגרם.
• "רציף" בעץ בחירת המבחן הוא קיצור ל"רווח או מנה", וכולל גם בדידים כמו מספר תשובות נכונות. הסולם של התלוי הוא הצומת הראשון בעץ.

מה חוזר בטעויות

1. "לא סטטיסטית כי זה אדם אחד": $40$ ניסיונות של דנה הם התפלגות.
2. מתאם על המדגם מסווג כהסקה: הוא תיאור, בדיוק כמו ממוצע.
3. עמודת המזהה נספרת כמשתנה (חמישה במקום ארבעה), והשורות נחשבות אנשים כשהן דירות.
4. ממוצע על קוד של קטגוריה ("ממוצע מגדר $1.6$").
5. תפקיד לפי המשתנה במקום לפי המשפט, או דרישת ניסוי כדי לזהות תלוי ובלתי תלוי.
6. דירוג $1$–$5$ מסווג כרווח במקום כסדר.
7. מנת משכל או צלזיוס כסולם מנה, ו"$140$ פי שניים מ־$70$".
8. אמון ב"גבוה ב־$20\%$" בסולם רווח.

בדקו את עצמכם

באותו מחקר מדדו את הכושר של $200$ נבדקים וחישבו את המתאם בינו לשעות האימון. תיאור או הסקה? תיאור, כל עוד הטענה היא על $200$ הנבדקים. הוא הופך להסקה רק כשמשתמשים בו כדי לטעון על כלל האוכלוסייה.

"האם רמת הכושר מנבאת את שביעות הרצון מהגוף?" מי התלוי? שביעות הרצון: היא מה שרוצים לדעת, והכושר הוא מה שנתון. באותו מחקר, בשאלה על שעות אימון וכושר, הכושר היה התלוי.

בניסוי משך האימון נקבע ל־$15$, $30$ או $45$ דקות. איזה סולם? מנה. שלוש רמות אינן הופכות דקות לסולם סדר, ו־$0$ דקות פירושו "אין אימון כלל".

מותר לחשב ממוצע על טמפרטורה בצלזיוס? ומותר לומר ש־$20$ מעלות חמות פי שניים מ־$10$? ממוצע כן, כי צלזיוס הוא סולם רווח. "פי שניים" לא, כי $0$ מעלות אינו "אין חום".

שכיחויות

ארבעה סטודנטים דיווחו כמה שעות ישנו: $5,\ 6,\ 6,\ 7$. שלוש שאלות על אותם ארבעה מספרים:

• כמה ישנו בדיוק $6$ שעות? שניים - זו השכיחות $f$ של הערך $6$.
• איזה חלק מהקבוצה הם? שניים מתוך ארבעה, $2/4 = 0.5$ - זו השכיחות היחסית $f/n$.
• כמה ישנו $6$ שעות או פחות? $1 + 2 = 3$ - זו השכיחות המצטברת: סכום השכיחויות עד לערך הזה ועד בכלל.

השכיחות המצטברת של ערך היא אפוא השכיחות המצטברת של הערך שלפניו ועוד השכיחות שלו, ואותו כלל חל על השכיחות היחסית המצטברת ($3/4 = 0.75$ כאן). טבלת שכיחויות היא הצורה שבה נתונים קטגוריאליים מגיעים בבחינה, והמעבר בין שלוש העמודות הוא כל מה שנדרש כדי לענות. אותו חישוב על טבלה גדולה יותר:

השכיחות היחסית המצטברת של דרגה $3$ היא $252/273 = 0.923$. הטעות הנפוצה היא לענות בשכיחות היחסית של השורה בלבד ($71/273 = 0.260$) במקום במצטברת.

כשחסר $n$. סך התצפיות אינו נתון שצריך לקבל מבחוץ: כשהקטגוריות מכסות את כל התצפיות וכל תצפית נופלת בדיוק באחת, חיבור עמודת השכיחויות מחזיר את $n$, ושורת סה"כ רק חוסכת את החיבור.

להשוות בין קבוצות בגדלים שונים. ספירה גולמית בקבוצה גדולה תהיה גבוהה יותר גם כשהתופעה נדירה בה יותר, ולכן "היכן זה נפוץ יותר" נענה בשכיחות יחסית: מחלקים כל ספירה בסך הכול של הקבוצה שלה - לא בסך שתי הקבוצות יחד - ורק אז משווים.

במחלקה א׳ יותר משתתפים, ובמחלקה ב׳ ההשתתפות נפוצה יותר. שני המשפטים נכונים, והם עונים על שתי שאלות שונות.

מתי האחוזים לא אמורים להסתכם ל־$100\%$. ההנחה ששכיחויות יחסיות מסתכמות ל־$1$ תלויה בכך שהקטגוריות מחלקות את המדגם - כל תצפית בדיוק בקטגוריה אחת. שתי סיבות שכיחות לכך שהתנאי אינו מתקיים: קטגוריות חופפות (סקר ששאל "האם אתם סטודנטים במשרה מלאה?", "האם אתם מתחת לגיל 25?" ו"האם אתם מתכננים ללמוד לתואר?" בנפרד - אותו נבדק יכול לענות כן לכולן, והסכום יכול לעבור $100\%$), וקטגוריה שהושמטה (טבלת מוצא שמדווחת רק על חמש הקבוצות הגדולות ומשמיטה "אחר", כך שהסכום יוצא פחות מ־$100\%$). הטעות הנפוצה היא לפרש כל חריגה מ־$100\%$ כשגיאת חישוב, בעוד שלרוב היא מסגירה איך הקטגוריות הוגדרו.

מדדי מרכז

ממוצע הוא סכום הערכים חלקי מספרם - נקודת האיזון של ההתפלגות:

$M = \frac{\sum X}{n}$

זהו מדד המרכז המשמש כברירת מחדל, והוא הרכיב שכל נוסחה בהמשך (שונות, ציון תקן, מתאם, $t$) בנויה סביבו. בנתונים $2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9$ מתקיים $\sum X = 40$ ו־$n = 8$, ולכן $M = 5$. הטעות שכדאי להיזהר ממנה היא להתייחס לממוצע כאל "התצפית הטיפוסית": תצפית קיצונית אחת מספיקה כדי להזיז אותו לאזור שאיש אינו נמצא בו. הממוצע אינו טועה - הוא עונה על שאלה אחרת.

נקודת איזון, במספרים. סכום המרחקים של התצפיות שמתחת לממוצע שווה תמיד לסכום המרחקים של התצפיות שמעליו. בסדרה שלנו מתחת ל־$5$: $3 + 1 + 1 + 1 = 6$; מעליו: $2 + 4 = 6$. הכלל תקף בכל מערך נתונים, גם מוטה מאוד, ומכאן שני דברים שהנוסחה כן מבטיחה ושניים שאינה: הממוצע נמצא תמיד בין הערך הקטן ביותר לגדול ביותר (אילו היו כל התצפיות מצד אחד שלו, לא היה מה שיאזן אותן); ותצפית רחוקה אחת גוררת אותו אליה, כי את המרחק הגדול שלה חייבות לאזן כל השאר יחד. הוא אינו חייב להיות ערך שקיים בנתונים ($2.4$ ילדים למשפחה), ואינו חייב שמחצית התצפיות יהיו מעליו - זו תכונת החציון.

ממוצע מטבלת שכיחויות. כשהנתונים מגיעים כטבלה, כל ערך נכנס לסכום כמספר הפעמים שהופיע, והמכנה הוא סכום השכיחויות ולא מספר השורות:

$M = \frac{\sum f X}{\sum f}$

$\sum fX = 29$, $\sum f = 10$, ולכן $M = 2.9$. הטעות הקבועה היא לחשב $(2 + 3 + 4)/3 = 3$ - ממוצע של הקטגוריות, כאילו כל אחת נמדדה פעם אחת.

חציון ושכיח

חציון $Md$ הוא הערך האמצעי אחרי מיון (בגודל זוגי - ממוצע שני האמצעיים); שכיח $Mo$ הוא הערך שחוזר הכי הרבה פעמים. שניהם סופרים מיקומים ולא מרחקים: החציון הוא מדד המרכז כשיש חריגים או א־סימטריה, והשכיח הוא המדד היחיד שמותר בסולם שמי. בסדרה $2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9$ יש שמונה ערכים, ולכן $Md = (4+5)/2 = 4.5$; הערך שחוזר הכי הרבה הוא $4$, ולכן $Mo = 4$. הטעות הנפוצה היא להניח שהחציון נמצא באמצע הטווח - הוא באמצע הרשימה, ומה שמעליו ומתחתיו יכול להיות רחוק מאוד או קרוב מאוד. זה בדיוק מקור העמידות שלו.

הסימן $\sum$ (האות היוונית סיגמא) נקרא "סכום של": $\sum X$ הוא סכום כל הערכים. הרחבה על קריאת סימנים כאלה - בסעיף קריאת נוסחה, בהמשך הפרק. הסדרה $2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9$, שממנה חושבו שלושת המדדים כאן, תלווה אותנו לאורך כל הפרק.

חציון מטבלת שכיחויות

כשהנתונים מגיעים כטבלה, ממיינים לפי הערך ומריצים עמודת שכיחות מצטברת; החציון הוא הערך שבשורתו המצטברת חוצה את $n/2$. ב־$40$ משפחות לפי מספר ילדים - $0$ ($5$), $1$ ($14$), $2$ ($9$), $3$ ($8$), $4$ ($4$) - המצטברת היא $5,\ 19,\ 28,\ 36,\ 40$. התצפית ה־$20$ וה־$21$ נמצאות שתיהן בשורה של $2$ (המצטברת עברה מ־$19$ ל־$28$), ולכן $Md = 2$. השכיח נקרא מעמודת השכיחות עצמה: $Mo = 1$, הערך ולא השכיחות $14$. אותו הליך נותן כל אחוזון: מחפשים את השורה שבה המצטברת חוצה את החלק המבוקש מ־$n$.

כשנותנים חציון ושכיח ומבקשים חסם על הממוצע

צורת שאלה חוזרת נותנת שני מדדי מיקום ומבקשת מה אפשר לומר על השלישי. חמישה ציונים שלמים, השכיח היחיד הוא $1$ והחציון הוא $2$ - מה אפשר לדעת על הממוצע?

כותבים את הסדרה הממוינת $a \le b \le 2 \le d \le e$; הערך האמצעי הוא החציון. כדי ש־$1$ יהיה שכיח הוא חייב להופיע לפחות פעמיים, והמקומות היחידים שפנויים לו הם שני הראשונים, ולכן $a = b = 1$ בדיוק. מכאן שה־$1$ מופיע בדיוק פעמיים, וכדי שהשכיח יהיה יחיד אסור לאף ערך אחר להופיע פעמיים: לכן $d \ne 2$ (אחרת ה־$2$ יופיע פעמיים) וגם $d \ne e$. הסדרה הקטנה ביותר האפשרית היא אפוא $1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$, והממוצע שלה הוא $11/5 = 2.2$.

חסם עליון אין: הערך $e$ אינו מוגבל בשום דבר, והסדרה $1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 900$ עומדת בכל התנאים. לכן "הממוצע לפחות $2.2$" נכון, ואילו "הממוצע לכל היותר $3$" אינו נכון בהכרח. השיטה בכל שאלת חסם זהה: מסדרים, כותבים את מה שהנתונים כופים, ובודקים עד כמה אפשר למתוח את מה שנשאר חופשי.

אחוזון

האחוזון של ציון הוא אחוז התצפיות שנמצאות מתחתיו - שכיחות מצטברת יחסית שמנוסחת כמיקום. ציון באחוזון $84$ פירושו שכ־$84\%$ מהנבחנים קיבלו פחות ממנו. זו הדרך שבה מדווחים ציון יחסי - בפסיכומטרי, במתא"ם ובמבחנים מתוקננים - והיא הבסיס לפירוש ציוני תקן בפרק הבא. שני היפוכים מפילים כאן. הראשון: לבלבל אחוזון עם אחוז הצלחה - אפשר לענות נכון על $60\%$ מהשאלות ולהיות באחוזון $95$, אם המבחן היה קשה לכולם. השני: לקרוא "אחוזון $84$" כ"$84\%$ קיבלו יותר ממנו" - הכיוון הוא תמיד כלפי מטה.

שתי הגדרות חיות. לאחוזון שתי הגדרות מקובלות, ושתיהן מופיעות בפריטי בחינה: אחוז התצפיות מתחת לערך (לא כולל אותו), ואחוז התצפיות עד הערך ועד בכלל (כולל אותו - וזו הספירה של עמודת השכיחות המצטברת). ההפרש ביניהן הוא בדיוק השכיחות של הערך עצמו, ולכן כשהערך חוזר כמה פעמים שתי ההגדרות נותנות שני מספרים, ובוחרים את האפשרות הקרובה ביותר. בטבלת $20$ שיחות שבה $9$ נמשכו פחות מ־$3$ דקות ו־$2$ נמשכו בדיוק $3$: שיחה בת $3$ דקות באחוזון $45$ לפי ההגדרה הראשונה ובאחוזון $55$ לפי השנייה. מה שאינו משתנה הוא הכיוון - האחוזון סופר תמיד כלפי מטה.

בחלק האינטראקטיבי שלמטה עשרים ציונים של כיתה אחת ומתחתם טבלת השכיחויות שלהם; גררו את הקו לציון כלשהו וראו כמה תצפיות נשארות מתחתיו ואיך הספירה הזאת הופכת לאחוזון.

משפט שאי אפשר, ומשפט שכן. "$60\%$ מהתלמידים בכיתה קיבלו ציון מעל החציון" אינו יכול להיות נכון - זו לא טעות מדידה אלא סתירה להגדרה: החציון מוגדר כך שלפחות מחצית מהתצפיות אינן גדולות ממנו ולפחות מחצית אינן קטנות ממנו, ולכן לא ייתכן שיותר ממחצית יימצאו מעליו. (כשיש ציונים זהים ייתכן שאפילו פחות מ־$50\%$ יימצאו מעליו - למשל כשרבים קיבלו בדיוק את ציון החציון.) לעומת זאת "$60\%$ מהתלמידים קיבלו ציון מתחת לממוצע" אפשרי לגמרי, ואפילו שכיח: זה קורה בכל התפלגות א־סימטרית חיובית, שבה מיעוט של ציונים גבוהים מאוד גורר את הממוצע מעל רוב הכיתה - בדיוק כמו דוגמת המיליונר שבסעיף הבא, שבה $49$ מ־$50$ התושבים מרוויחים מתחת לממוצע. מי שעונה ששני המשפטים שגויים באותה מידה מתייחס לממוצע ולחציון כאילו הם אותו דבר.

רגישות לחריגים

ההבדל המעשי בין הממוצע לחציון מתנקז לתכונה אחת, וזו התכונה שהבחינה בונה עליה יותר שאלות מכל תכונה אחרת של מדדי המרכז: הממוצע רגיש, החציון עמיד. כל תצפית משפיעה על הממוצע לפי המרחק שלה ממנו, ואילו החציון מגיב רק למיקומים - ולכן ערך קיצוני גורר את הממוצע אליו ומשאיר את החציון כמעט במקומו. בסדרה $2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9$ שמלווה את הפרק, שבה $M = 5$ ו־$Md = 4.5$, אילו הייתה התצפית האחרונה $90$ במקום $9$ היה הממוצע קופץ ל־$15.1$ והחציון היה נשאר בדיוק $4.5$. זו הסיבה שמדווחים חציון בהתפלגויות של הכנסה או של זמן תגובה. הזהירות הנדרשת: "עמיד" אינו "קפוא" - הוספת תצפית משנה את מספר הערכים, ולכן החציון יכול לזוז מעט; הוא פשוט אינו נגרר לכיוון הקיצון.

שתי הסדרות באיור מצוירות על אותו ציר, ורק תצפית אחת הוחלפה בהן. הקו המקווקו של החציון עומד באותו מקום בשתי השורות; משולש הממוצע, לעומת זאת, נגרר ימינה לאזור שאין בו אף תצפית - שבע התצפיות האחרות לא זזו בכלל.

אפשר לנסות את זה על הציר עצמו: גררו את התצפית הימנית ביותר ימינה, ותראו את משולש הממוצע נגרר אחריה בזמן שהקו המקווקו של החציון כמעט אינו זז.

דוגמה מספרית - ממוצע שאיש אינו מרוויח. ברחוב אחד גרים $50$ תושבים. תושב אחד מרוויח $20{,}000{,}000$ שקלים בשנה, וכל אחד מ־$49$ האחרים מרוויח $150{,}000$:

החציון הוא $150{,}000$, מפני ששני הערכים האמצעיים ברשימה הממוינת הם $150{,}000$. הממוצע, לעומת זאת, הוא $547{,}000$ - סכום שאף תושב ברחוב אינו מרוויח. הממוצע לא חושב "לא נכון"; הוא פשוט עונה על שאלה אחרת. הוא נקודת האיזון של כל הכסף, ואילו החציון מתאר טוב יותר את התושב הטיפוסי.

כששואלים איזה מדד מרכז עדיף, לא מחפשים את המדד ה"אמיתי" אלא את המדד שמתאים למטרה ולצורת הנתונים. חריג קיצוני אינו סיבה למחוק את הממוצע - הוא סיבה לפרש אותו בזהירות.

מתי אין בכלל ממוצע. יש מקרים שבהם הממוצע לא מטעה - הוא פשוט לא קיים, בעוד שהחציון מחושב כרגיל. במעבדה שבדקה אמינות של חמישה מזגנים הופעלו המכשירים ברציפות ונרשם מספר שעות התקינות עד לתקלה, אבל הבדיקה הופסקה אחרי $1{,}000$ שעות: $340,\ 610,\ 890,\ 950,\ 1000^{*}$, כאשר $1000^{*}$ פירושו "עדיין תקין כשהבדיקה נעצרה - הערך המדויק אינו ידוע". הממוצע אי אפשר לחשב, כי הסכום אינו ידוע. החציון הוא $890$, ומחושב מיד: הערך החסר נמצא בקצה העליון של הרשימה הממוינת, ולכן הוא לא משנה מי באמצע. גם אם שני המזגנים האחרונים לא הספיקו להתקלקל ($340,\ 610,\ 890,\ 950^{*},\ 1000^{*}$), החציון עדיין $890$. זה ההבדל העמוק ביותר בין שני המדדים: החציון מגיב רק למיקומים, ולכן מספיק לדעת ש־$1000^{*}$ הוא הגדול ביותר בלי לדעת בכלל כמה הוא גדול - ותרחיש כזה, נתונים "חתוכים" מסיבה כלשהי (מדידה שנעצרה, קטגוריה פתוחה מסוג "$10$ שעות ומעלה"), מופיע גם בקטעי נתונים אמיתיים.

כשהבחירה עצמה היא הראיה. מועדון כושר שרוצה למכור מנויים מדווח בעלון שיווקי שני מספרים על חבריו: הכנסה חודשית ממוצעת גבוהה, וגיל חציוני נמוך. שתי ההתפלגויות - הכנסה וגיל - מוטות חיובית (מיעוט חברים עשירים או מבוגרים מאוד מושך את הממוצע כלפי מעלה), ולכן בשתיהן הממוצע גבוה מהחציון. הבחירה אינה מקרית: בהכנסה נבחר המדד הגבוה יותר, ובגיל נבחר המדד הנמוך יותר - ובשני המקרים החבר הטיפוסי נראה עשיר וצעיר יותר משהוא באמת. מי שיודע את כלל ההטיה יכול להפעיל אותו הפוך: כשמדווחים ממוצע דווקא כשחציון היה מקובל יותר (או להפך), עצם הבחירה מסגירה לאיזה כיוון רצו להטות את הרושם.

יחס ממוצע–חציון וכיוון ההטיה

בהתפלגות טיפוסית חד־שיאית (פסגה אחת) הזנב הארוך גורר את הממוצע לכיוונו, והחציון נשאר בין השכיח לממוצע. בבחינה משתמשים בכך כרמז מהיר לצורת ההתפלגות, בלי חישוב ובלי תרשים - אך זהו דפוס מקובל, לא משפט מתמטי שתקף לכל מערך נתונים. א־סימטריות חיובית (זנב ימני): שכיח < חציון < ממוצע. סימטרית וחד־שיאית: שלושתם מתלכדים. א־סימטריות שלילית: ממוצע < חציון < שכיח. נתון $M = 70$ ו־$Md = 75$? בדפוס הבחינה המקובל הממוצע הקטן מהחציון מצביע על זנב בצד הנמוך - א־סימטריות שלילית. הטעות היא להפעיל את הכלל הפוך ולהסיק סימטריה מ־$M = Md$.

מה נובע בהכרח ומה רק "בדרך כלל"

בהתפלגות שכר מוטה ימינה עובדים שלושה: דנה נמצאת באחוזון $75$, יוסי מרוויח מעל הממוצע, ורונית נמצאת בדיוק באמצע הטווח, $\frac{X_{min} + X_{max}}{2}$. מי מהם נמצא בהכרח מעל החציון?

רק דנה. אחוזון $75$ גבוה מאחוזון $50$ מעצם ההגדרה, ואין כאן שום הנחה על צורת ההתפלגות. אצל יוסי הטיעון נשמע חזק - בזנב ימני הממוצע גדול מהחציון, ולכן מי שמעל הממוצע נמצא גם מעליו - אבל הוא נשען על הסדר שכיח < חציון < ממוצע, שהוא דפוס ולא משפט. הסדרה $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 4,\ 4,\ 10$ כבר מראה שהממוצע והחציון יכולים להתלכד בהתפלגות עם זנב ימני, ויש גם מקרים שבהם הממוצע נופל מתחת לחציון - ואז "מעל הממוצע" אינו גורר "מעל החציון". ורונית: אמצע הטווח נקבע משני ערכי קצה בלבד ואינו מדד מיקום כלל, ולכן אין שום כלל שכופה עליו להיות מעל החציון.

השורה התחתונה לבחינה: ברגע שמופיעה המילה בהכרח, הסדר בין שלושת מדדי המרכז אינו נימוק קביל. מה שכן נובע מהגדרה הוא מיקום לפי אחוזון.

שימו לב לגבול של הכלל: אי־שוויון בין הממוצע לחציון אכן מעיד על א־סימטריה, אבל שוויון ביניהם אינו מעיד על סימטריה. בסדרה $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 4,\ 4,\ 10$ שלושת המדדים שווים ל־$4$, ובכל זאת ההתפלגות מוטה ימינה בבירור - מתחת למרכז יש מרחק של $3$, ומעליו $6$.

חילוץ הסכום מהממוצע

הממוצע וגודל הקבוצה מגדירים יחד את סכום כל הערכים, ולכן אפשר לנוע בין השניים בשני הכיוונים:

$\sum X = M \times n$

הרבה שאלות נראות חסרות נתונים ונפתרות ברגע שמחלצים את הסכום - סכומים מתחברים ומתחסרים, ממוצעים לא.

דוגמה. בכיתה של $25$ תלמידים הממוצע הוא $72$. תלמיד חדש הצטרף וקיבל $97$. מה הממוצע החדש?

$\sum X = 72 \times 25 = 1800 \qquad \sum X_{new} = 1800 + 97 = 1897$

$M_{new} = \frac{1897}{26} = 72.96$

הטעות הנפוצה היא להוסיף את הערך החדש למונה ולהשאיר את המכנה - או להכריז שהשאלה בלתי פתירה בלי הציונים הבודדים. בלי חילוץ הסכום היא אכן נראית כך; איתו היא שתי פעולות.

ממוצע משוקלל

כשמאחדים שתי קבוצות בגדלים שונים, הממוצע הכולל אינו ממוצע הממוצעים אלא סכום הסכומים חלקי סכום הגדלים - כלומר כל קבוצה נכנסת לפי גודלה:

$M_{total} = \frac{n_1 M_1 + n_2 M_2}{n_1 + n_2}$

דוגמה. קבוצה א: $n = 20$, $M = 80$. קבוצה ב: $n = 30$, $M = 70$.

$M_{total} = \frac{20 \times 80 + 30 \times 70}{50} = \frac{1600 + 2100}{50} = \frac{3700}{50} = 74$

ממוצע הממוצעים היה נותן $75$ - והוא שגוי, כי הוא מתייחס לשתי הקבוצות כאילו היו באותו גודל. הממוצע הכולל תמיד נמשך לכיוון הקבוצה הגדולה יותר.

באיור הקורה מאוזנת ב־$74$ ולא ב־$75$: המשקולת של הקבוצה הגדולה מושכת את נקודת המשענת אליה, ואילו הקו האדום ב־$75$ - אמצע המרחק בין שני הממוצעים - הוא בדיוק מה שממוצע הממוצעים היה נותן.

שתי הקבוצות שוות בגודלן ← ממוצע הממוצעים כן נכון (וגם כשהממוצעים עצמם שווים - אז אין למה להימשך).

אותה נוסחה עונה גם על השאלה ההפוכה, שנשאלת לא פחות: נתון הממוצע הכולל ואחת הקבוצות, ומחפשים את ממוצע השנייה. עוברים לסכומים, מחסרים, ומחלקים ב־$n$ שלה.

סיכום: מדדי מרכז ושכיחויות

היחידה דחסה רשימה של ערכים למספר אחד: קודם ספרה (שכיחויות), אחר כך מיקמה מרכז (ממוצע, חציון, שכיח), ובסוף הראתה שהממוצע וגודל הקבוצה נושאים יחד את הסכום. שלושת מדדי המרכז אינם שלושה חישובים של אותו דבר: כל אחד עונה על שאלה אחרת, ולכן כל אחד נשבר במקום אחר. הסדרה $2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9$ ליוותה את הכול, וכל המספרים כאן ממנה.

שלושה מדדים, שלוש שאלות

הצורה מפרידה ביניהם. בהטיה חיובית שכיח < חציון < ממוצע, בשלילית ההפך; זה דפוס אופייני ולא חוק, ולכן $M = Md$ אינו מוכיח סימטריה. מחציון ושכיח אפשר לחסום את הממוצע מלמטה בלבד: כותבים את הסדרה הממוינת הקטנה ביותר שהתנאים כופים.

הסכום עובד בשביל הממוצע

$\sum X = M \times n$ הוא המפתח לכל שאלת ממוצע מורכבת, כי ממוצעים לא מתחברים וסכומים כן:

• נוסף ציון: $72 \times 25 = 1800$, ועוד $97$ הם $1897$, ומחלקים ב־$26$, לא ב־$25$: $72.96$.
• שתי קבוצות: $\frac{1600 + 2100}{50} = 74$, לא $75$. ממוצע הממוצעים נכון רק כשהקבוצות שוות בגודלן; הממוצע הכולל נמשך לקבוצה הגדולה.

שכיחויות ואחוזונים

• שכיחות של שורה מול מצטברת. מצטברת היא "עד כאן": סכום השכיחויות עד השורה חלקי $n$, $252/273 = 0.923$; שורה לבדה היא $0.260$.
• אחוזון הוא שכיחות מצטברת שמנוסחת כמיקום. אחוזון $84$: כ־$84\%$ קיבלו פחות. הוא סופר תמיד כלפי מטה ואינו אחוז הצלחה; אפשר לענות נכון על $60\%$ ולהיות באחוזון $95$.
• "בהכרח" רק מהגדרה. אחוזון $75$ בהכרח מעל החציון; "מעל הממוצע" לא בהכרח; "$60\%$ מעל החציון" בלתי אפשרי, "$60\%$ מתחת לממוצע" אפשרי בכל התפלגות א־סימטרית חיובית.
• אחוזים שאינם מסתכמים ל־$100\%$ אינם בהכרח שגיאה: קטגוריות חופפות מעלות את הסכום מעל $100\%$, וקטגוריה שהושמטה מורידה אותו מתחת.

מה חוזר בטעויות

1. שכיחות של שורה במקום מצטברת ($0.260$ במקום $0.923$).
2. אחוזון כאחוז הצלחה, או בכיוון ההפוך.
3. חציון באמצע הטווח במקום באמצע הרשימה.
4. סימטריה מתוך $M = Md$.
5. ציון חדש למונה בלי לעדכן את המכנה ($1897/25$ במקום $1897/26$).
6. ממוצע ממוצעים לקבוצות בגדלים שונים ($75$ במקום $74$).

בדקו את עצמכם

הוספנו לכיתה ציון גבוה במיוחד. מה צפוי לזוז יותר, הממוצע או החציון? הממוצע: הוא נושא את הסכום, והציון החדש נכנס לסכום במלואו. החציון זז לכל היותר למקום סמוך ברשימה.

לשתי קבוצות אותו ממוצע. האם הנתונים שלהן בהכרח דומים? לא. הממוצע הוא מספר אחד; $5,\ 5,\ 5$ ו־$0,\ 5,\ 10$ שניהם ממוצע $5$. את ההבדל תופסת היחידה הבאה, מדדי הפיזור.

מתי חייבים להתחשב בגודל הקבוצות בחישוב ממוצע כולל? תמיד כשהגדלים שונים. רק כשהם שווים, או כשהממוצעים עצמם שווים, ממוצע הממוצעים נותן את התשובה הנכונה.

למה צריך מדד פיזור

ממוצע לבדו אינו מתאר התפלגות. לשתי הקבוצות $[50, 50, 50]$ ו־$[10, 50, 90]$ אותו ממוצע בדיוק - והן שונות לגמרי.

וזה לא רק הממוצע. לשתי הסדרות הבאות, כל אחת בת עשרה ציונים, יש בדיוק אותו ממוצע, אותו חציון ואותו שכיח:

כל מדד מרכז שנחשב על שתי הסדרות ייתן בדיוק אותה תשובה - לא רק הממוצע, גם החציון וגם השכיח. מה שמפריד ביניהן אינו נמצא במרכז בכלל: בסדרה I כל הציונים דחוסים בין $58$ ל־$62$, ובסדרה II הם מתפרשׂים מ־$52$ עד $69$ - פי יותר מארבעה. זו הסיבה שדרוש מדד נפרד לגמרי לפיזור - שום מדד מרכז, לא רק הממוצע, לא יגלה את ההבדל הזה.

באיור שתי הסדרות מצוירות על אותו סולם בדיוק, והקו המקווקו האחד שעובר בשתיהן הוא הממוצע, החציון והשכיח של שתיהן גם יחד. כל מה שמפריד ביניהן הוא כמה רחוק מהקו הזה מותר לנקודות להימצא - וזה בדיוק מה שמדד פיזור מודד.

העמודה האחרונה כאן היא עדיין תיאור מילולי, לא מדד. שאר הפרק בונה את המדדים עצמם: תחילה כאלה שנשענים על מיקומים בלבד, ואחר כך כאלה שסוכמים את המרחקים של כל התצפיות מהממוצע.

מה שמדד פיזור עונה עליו: לא "היכן מרכז הנתונים" אלא "עד כמה התצפיות רחוקות זו מזו". שני דיווחים - מרכז ופיזור - הם המינימום לתיאור התפלגות, וכל אחד מהם לבדו אינו מספיק.

טווח וטווח בין־רבעוני

טווח $= X_{max} - X_{min}$ - בסדרה $2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9$ שמלווה את הפרק, $9 - 2 = 7$. הוא נשען על שתי תצפיות בלבד, ולכן חריג יחיד מנפח אותו. התחום הבין־רבעוני (IQR) $= Q_3 - Q_1$: $Q_1$ הוא הערך שרבע מהתצפיות מתחתיו ו־$Q_3$ הערך ששלושה רבעים מתחתיו - האחוזון ה־25 וה־75 - כך שהתחום ביניהם מכסה את המחצית האמצעית של הנתונים. הוא מתעלם משני הרבעים החיצוניים ולכן הוא עמיד בפני חריגים, בדיוק כמו החציון ומאותה סיבה. הטעות הנפוצה היא להניח שטווח שווה פירושו פיזור שווה - ל־$10, 20, 30, 40, 50$ ול־$10, 30, 30, 30, 50$ אותו ממוצע ואותו טווח, ופיזור שונה: בשנייה שלושת הערכים האמצעיים יושבים על הממוצע.

בדוגמה שלנו: המחצית התחתונה היא $2,\ 4,\ 4,\ 4$ ולכן $Q_1 = 4$; המחצית העליונה היא $5,\ 5,\ 7,\ 9$ ולכן $Q_3 = (5+7)/2 = 6$. התחום הבין־רבעוני הוא $6 - 4 = 2$.

הכלל הפורמלי לערך חריג נבנה על ה־IQR דווקא, מפני שהוא עמיד בפני החריגים שהוא בא לאתר. מחשבים שני גבולות, $Q_1 - 1.5 \times IQR$ ו־$Q_3 + 1.5 \times IQR$, וכל תצפית מחוץ לתחום שביניהם היא חריג. בסדרה שלנו הגבולות הם $4 - 3 = 1$ ו־$6 + 3 = 9$: התצפית $9$ יושבת בדיוק על הגבול ואינה חורגת ממנו, ולכן אין כאן חריגים. אילו הייתה התצפית האחרונה $10$, היא הייתה נחשבת חריג. הכלל הזה הוא מה שתרשים קופסה, בהמשך הפרק, מסמן כנקודה בודדת.

סכום ריבועים, שונות וסטיית תקן

הרעיון הטבעי למדוד פיזור הוא "כמה כל תצפית רחוקה מהממוצע", כלומר הסטייה $X - M$. אבל $\sum (X - M) = 0$ תמיד, בכל מערך נתונים - זו תכונה מגדירה של הממוצע, שהוא הנקודה המאזנת את הסטיות, ולכן "סטייה ממוצעת" לא הייתה מבדילה בין נתונים מרוכזים לפזורים. הפתרון הוא לרבע כל סטייה לפני הסכימה, וכך כל התרומות חיוביות. הסכום שמתקבל הוא סכום הריבועים, המדד הגולמי של סך הפיזור:

$SS = \sum (X - M)^2$

בסדרה $2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9$ שמלווה את הפרק, שבה $M = 5$, הסטיות הן $-3, -1, -1, -1, 0, 0, +2, +4$ וסכומן אפס, ואילו $SS = 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32$. שימו לב לסדר: מרבעים כל סטייה ורק אז מסכמים, שהרי $\left(\sum (X-M)\right)^2$ יוצא אפס תמיד.

נוסחת העבודה. כשהממוצע יוצא שבר, נוח לחשב את אותו $SS$ בלי לחסר אותו מכל תצפית:

$SS = \sum X^2 - \frac{\left(\sum X\right)^2}{n}$

היא שקולה אלגברית ל־$\sum (X - M)^2$. בסדרה שלנו $\sum X = 40$ ו־$\sum X^2 = 4 + 16 + 16 + 16 + 25 + 25 + 49 + 81 = 232$, ולכן $SS = 232 - 40^2/8 = 232 - 200 = 32$ - אותו מספר. המלכודת היא הסוגריים: $\sum X^2$ מרבע כל ערך ואז מסכם ($232$), ואילו $\left(\sum X\right)^2$ מסכם ואז מרבע ($1600$). גם החלוקה ב־$n$ באיבר השני היא חלק מהנוסחה.

למה דווקא מהממוצע? בחלק האינטראקטיבי שלמטה אותה סדרה, ומרכז שאפשר לגרור: כל ריבוע הוא סטייה בריבוע, וכשמזיזים את המרכז מ־$5$ לכל כיוון סכום השטחים רק גדל.

$SS$ אינו רק שלב בדרך. הוא המושג שכל פרק ה־ANOVA בנוי עליו, ושם הוא מתפרק ל־$SS_B$ ול־$SS_W$. שווה להכיר אותו בשמו כבר עכשיו.

קריאת נוסחה

שלושה סימנים שחוזרים בכל האפליקציה:

סדר הפעולות בתוך $\sum$ הוא תמיד מבפנים החוצה - ה־$\sum$ נכתב ראשון אבל פועל אחרון, בדיוק כפי שראינו זה עתה בחישוב של $SS$.

שונות

שונות היא סכום הריבועים חלקי המכנה המתאים - בגסות, הסטייה הריבועית הממוצעת. המכנה נקבע לפי המטרה: כשהנתונים הם כל האוכלוסייה שמעניינת אותנו מחלקים ב־$N$; כשהם מדגם שממנו אומדים את שונות האוכלוסייה מחלקים ב־$n-1$ (למה דווקא $n-1$ - בסעיף שבהמשך):

$\sigma^2 = \frac{SS}{N} \qquad S^2 = \frac{SS}{n-1}$

בסדרה $2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9$ שמלווה את הפרק מתקבל $SS = 32$ ו־$n = 8$: כאוכלוסייה $\sigma^2 = 32/8 = 4$, וכמדגם $S^2 = 32/7 = 4.57$. השונות היא המדד שמתפרק ומתחבר מתמטית, וזו הסיבה שכל ANOVA, רגרסיה ומתאם מנוסחים דרכה ולא דרך סטיית התקן. הטעות הנפוצה: לענות $SS$ במקום שונות (כלומר לשכוח את החלוקה), או להפך. שימו לב גם שהיחידות מרובעות, ולכן שונות אינה ניתנת לפירוש ישיר.

סטיית תקן

סטיית תקן היא השורש הריבועי של השונות - פיזור ביחידות המקוריות של המשתנה:

$\sigma = \sqrt{\sigma^2} \qquad S = \sqrt{S^2}$

בסדרה $2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9$ שמלווה את הפרק, כשמתייחסים לנתונים כאל אוכלוסייה שלמה, $\sigma^2 = 4$ ולכן $\sigma = 2$. היחידות של השונות מרובעות, ו"נקודות בריבוע" אינו דבר שאפשר לפרש; "$2$ נקודות" כן. לכן סטיית התקן היא מדד הפיזור שמדווחים בפועל, והיא היחידה שבה יימדד בהמשך כל מרחק מהממוצע. הטעות הנפוצה: לענות סטיית תקן כשנשאלה שונות, או להפך.

אל תניחו שהשונות תמיד גדולה יותר: כאשר $S^2 > 1$ סטיית התקן קטנה ממנה, וכאשר $0 < S^2 < 1$ היא גדולה ממנה (ב־$S^2 = 1$ ו־$S^2 = 0$ הן שוות). ובהמשך מצטרפת הבחנה נוספת: סטיית תקן היא פיזור של תצפיות, ואילו טעות תקן היא פיזור של ממוצעי מדגמים.

מתי מחלקים ב־$N$ ומתי ב־$n-1$

לשלושה מספרים יש ממוצע $5$, ולכן סכומם $15$. שני הראשונים הם $4$ ו־$6$. האם אפשר לבחור את השלישי בחופשיות? לא - הוא חייב להיות $5$. ברגע שהממוצע ידוע, רק שניים מהשלושה חופשיים, והשלישי נקבע. אותו דבר בסטיות: הסטיות מהממוצע הן $-1,\ +1,\ 0$, וסכומן חייב להיות אפס, ולכן הסטייה האחרונה תמיד נגזרת מן הקודמות. זה מה שנקרא דרגות חופש ($df$): אחרי שחושב $M$ מהנתונים עצמם, נשארו $n-1$ סטיות חופשיות, לא $n$.

מה שקובע את המכנה הוא המטרה, לא הסימן: אם הנתונים שביד הם כל האוכלוסייה שמעניינת אותנו - מחלקים ב־$N$; אם הם מדגם שממנו אומדים את שונות האוכלוסייה - מחלקים ב־$n-1$, כלומר במספר דרגות החופש. למה התיקון נחוץ: הסטיות במדגם נמדדות מ־$M$ של המדגם ולא מ־$\mu$ האמיתי, ו־$M$ הוא בהגדרה הנקודה שממזערת את סכום הריבועים, ולכן $SS$ של מדגם יוצא קטן מדי באופן שיטתי; המכנה הקטן יותר מתקן את ההטיה. ל־$SS = 56$ ו־$n = 5$, למשל, כאוכלוסייה $56/5 = 11.2$ וכמדגם $56/4 = 14$. ברירת המחדל בכל האפליקציה: $S^2$ פירושו חלוקה ב־$n-1$.

בחלק האינטראקטיבי שלמטה האוכלוסייה כולה ידועה ($\sigma^2 = 4$), ואפשר לדגום ממנה שוב ושוב ולחשב את השונות של כל מדגם בשני המכנים; אחרי כמה עשרות דגימות רואים איזה מהשניים מתייצב על $4$ ואיזה נשאר נמוך ממנו.

הוכחה במספרים. הטענה ש"$M$ ממזער את סכום הריבועים" אינה רק כלי עזר - היא הגדרה חלופית של הממוצע, בדיוק כפי שהחציון מוגדר כערך שממזער את סכום הסטיות המוחלטות. אפשר לבדוק את שתי ההגדרות על סדרה קטנה: $1,\ 4,\ 4,\ 4,\ 12$ (חמישה ערכים, $M = 5$, $Md = 4$):

מהחציון סכום הסטיות המוחלטות קטן יותר ($11 < 14$); מהממוצע סכום הריבועים קטן יותר ($68 < 73$). כל אחד מהמדדים ממזער בדיוק את הסוג של מרחק שהוא בנוי עליו - וזו הסיבה שהחציון אינו רק "עמיד", אלא בעל תכונה חיובית משלו, וזו הסיבה ש־$SS$ שמחושב מהממוצע הוא באמת המינימום האפשרי, לא רק מספר נוח.

הדימוי הפיזי הופך את זה למוחשי: הממוצע הוא נקודת המשענת שבה קורה עם משקולות על ערכי המדגם באמת מאוזנת, לכל מדגם - זו בדיוק הגדרת $\sum(X-M)=0$. משענת בכל נקודה אחרת, כולל החציון, משאירה את הקורה נוטה ונופלת לכיוון הצד הכבד יותר.

ביחידת המתאם נכתוב שונות, שונות משותפת וסטיות תקן עם מכנה $N$ באופן עקבי, כי כך נוסחת $r$ קצרה יותר. אפשר לחשב את כולם גם עם $n-1$: הגורם המשותף מצטמצם ונותן אותו $r$. זו מוסכמת חישוב, לא הבדל בין מתאם "תיאורי" למתאם שאומד את האוכלוסייה.

בדוגמה שלנו, כמדגם: $S^2 = 32/7 = 4.57$ ו־$S = 2.14$ - גדולים מהערכים שקיבלנו כאוכלוסייה, כצפוי.

המונח שנולד כאן: דרגות חופש. $df$ יופיע מכאן והלאה בכל מבחן סטטיסטי: $n-1$ במבחן $t$ למדגם יחיד, $n_1+n_2-2$ לשני מדגמים, $N-k$ ב־ANOVA.

הוספת קבוע והכפלה בקבוע

הוספת קבוע $c$ לכל התצפיות מזיזה את ההתפלגות ואינה משנה את צורתה; הכפלה בקבוע $k$ מותחת אותה. בפירוט: בהוספת $c$ הממוצע והחציון גדלים ב־$c$, וסטיית התקן והשונות אינן משתנות כלל - כל $X$ וגם $M$ זזו יחד, ולכן כל סטייה $X - M$ נשארה זהה ואיתה $SS$. בהכפלה ב־$k$ הממוצע והחציון מוכפלים ב־$k$, השונות ב־$k^2$ וסטיית התקן ב־$\lvert k \rvert$ - היא מדד פיזור, ולכן תמיד חיובית. שתי הטעויות הנפוצות כאן: לחשוב שהוספת קבוע מגדילה את הפיזור, ולהכפיל את השונות ב־$k$ במקום ב־$k^2$. השנייה היא הטעות הנפוצה ביותר בכל הפרק על טרנספורמציות.

בחלק העליון של האיור העקומה זזה ימינה ורוחבה נשמר בדיוק - זו הוספת הקבוע, ולכן הפיזור לא השתנה. בחלק התחתון היא נמתחת: רחבה פי שניים ונמוכה בהתאם, וזו ההכפלה, שבה גם המרחקים מהממוצע גדלו ואיתם הפיזור.

מקרה קצה ששווה לזכור: משתנה שערכיו $0$ ו־$1$

כשמשתנה מקבל רק שני ערכים, $0$ ו־$1$, ושיעור ה־$1$־ים הוא $p$, השונות שלו במכנה $N$ (כאוכלוסייה) היא $\sigma^2 = p(1-p)$; במכנה $n-1$ מכפילים ב־$n/(n-1)$. הביטוי $p(1-p)$ מקסימלי כאשר $p = 0.5$, ואז $\sigma^2 = 0.25$ - זהו הפיזור הגדול ביותר שמשתנה כזה יכול להגיע אליו, וככל שההתפלגות מוטה יותר לצד אחד השונות קטנה, עד $0$ כשכולם באותו ערך.

הוספת תצפית או הסרתה

כשתצפית אחת נוספת לקבוצה או יוצאת ממנה, מה שקובע את כיוון השינוי בממוצע הוא המרחק מהממוצע, לא גודל התצפית ולא גודל המדגם: הוספת ערך מעל הממוצע מעלה אותו, הסרת ערך מתחתיו מעלה אותו, וערך ששווה לו בדיוק משאיר אותו במקומו. הסיבה בשורה אחת: הממוצע החדש הוא הישן ועוד $(X - M)/(n+1)$ - הסטייה של הערך החדש מהממוצע הישן, מחולקת בין כל התצפיות. הסימן של הסטייה קובע לאן, ו־$n$ קובע רק כמה. לפיזור יש כלל נפרד, והוא המלכודת האמיתית כאן: תצפית ששווה לממוצע אינה מוסיפה דבר ל־$SS$ (הסטייה שלה היא אפס) אבל כן מגדילה את המכנה, ולכן השונות קטנה. בדוגמה שלנו הוספת עוד $5$ משאירה $SS = 32$ ו־$M = 5$, אבל השונות יורדת מ־$32/8 = 4$ ל־$32/9 = 3.56$.

במוסכמת המדגם אותו דבר קורה: $32/7 = 4.57$ יורד ל־$32/8 = 4$.

בסדרה קטנה אפשר לראות את זה בשלוש שורות, וגם לראות שסטיית התקן קטנה יחד עם השונות ולא רק היא. בסדרה $1,\ 2,\ 3$ הממוצע הוא $2$ ו־$SS = 1 + 0 + 1 = 2$, ולכן במוסכמת המדגם $S^2 = 2/2 = 1$ ו־$S = 1$. מוסיפים תצפית רביעית שערכה בדיוק $2$: הממוצע נשאר $2$, $SS$ נשאר $2$ - התצפית החדשה תרמה לו אפס - אבל המכנה עולה מ־$2$ ל־$3$:

$S^2 = \frac{2}{3} \approx 0.67 \qquad S = \sqrt{0.67} \approx 0.82$

היוצא מן הכלל היחיד הוא קבוצה שכל ערכיה זהים כבר מלכתחילה. שם $SS = 0$, והוספת עוד תצפית באותו ערך משאירה אותו $0$.

ומה עם החציון? הוא סופר מיקומים, ולכן התשובה בשתי השורות האחרונות היא "תלוי". בדוגמה שלנו הוספת $5$ מזיזה אותו מ־$4.5$ ל־$5$ - אבל בסדרה שבה הממוצע והחציון מתלכדים, כמו $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$, הוספת $3$ משאירה אותו בדיוק $3$. גם תצפית קיצונית אינה מבטיחה תזוזה: בסדרה $3,\ 5,\ 5,\ 5,\ 9$ הוספת $90$ משאירה את החציון $5$ בדיוק, כי שני הערכים האמצעיים החדשים שניהם $5$. זה ההבדל העמוק מהממוצע, שכל תצפית חדשה מזיזה אותו אלא אם היא שווה לו בדיוק.

מה משנה את הפיזור ומה לא

ארבע השורות האלה מסכמות את שני הסעיפים האחרונים במקום אחד:

שתי השורות הראשונות הן טרנספורמציה של כל הנתונים; שתי האחרונות הן שינוי בהרכב הקבוצה. כל זוג הוא כלל בפני עצמו.

שינוי שנוגע רק בחלק - כשבכל זאת אפשר לדעת את הכיוון

לפעמים משנים רק חלק מהתצפיות, וברירת המחדל היא "צריך לחשב מחדש". יש מקרה אחד שבו אפשר להכריע בלי חישוב: כשמקרבים אל הממוצע רק את התצפיות שמעליו. נניח שהממוצע בכיתה הוא $80$, והמורה מורידה שתי נקודות מכל מי שציונו מעל $80$, וכולם נשארים מעליו. הממוצע יורד - הורדנו ערכים ולא הוספנו אף אחד. והשונות גם היא יורדת: הסטיות הגדולות ביותר, אלה שמעל הממוצע, התקצרו בכמעט שתי נקודות כל אחת, ואילו הסטיות של מי שמתחת לממוצע גדלו רק בגובה הירידה של הממוצע עצמו, שקטנה מ־$2$.

לעומת זאת בהוספת תצפית בודדת אפשר לקבוע רק חצי מהתשובה. תצפית שרחוקה מהממוצע $1.4$ סטיות תקן מזיזה את הממוצע בהכרח לכיוונה, אבל השונות יכולה לגדול או לקטון: זה תלוי אם המרחק החדש גדול מהסטייה הטיפוסית בקבוצה, וגם בכמה $n$ גדל. כששאלה שואלת על סטיית התקן במצב כזה, "לא ניתן לדעת" הוא מסיח אמיתי ולא מפלט.

ויש גם כיוון הפוך, שבו דווקא קיבוע הממוצע מכריע את הפיזור. לכיתה של $20$ תלמידים שממוצעה $80$ וסטיית התקן שלה $5$ מצטרפים שני תלמידים, ורק ציונו של אחד מהם ידוע: $87$. כדי שהממוצע יישאר $80$ הציון השני חייב להיות $73$ - ואז נוספו שתי סטיות של $7$, גדולות מסטיית התקן, ו־$SS$ עולה מ־$500$ ל־$598$ והשונות מ־$25$ ל־$598/22 \approx 27.2$ (במכנה $N$; במוסכמת המדגם $475 \to 573$ ו־$573/21 \approx 27.3$ - אותו כיוון). כלומר הצמד היחיד ששומר על הממוצע הוא בדיוק זה שמגדיל את סטיית התקן, ולכן "שניהם יישארו במקומם" כאן בלתי אפשרי.

סיכום: פיזור, שונות וסטיית תקן

מרכז לבדו אינו מתאר התפלגות: ל־$[50,\ 50,\ 50]$ ול־$[10,\ 50,\ 90]$ אותו ממוצע, ושום מדד מרכז לא יגלה את ההבדל. היחידה בנתה מדד שני, ואז שאלה מה קורה לו כשהנתונים משתנים. הסדרה $2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9$, שבה $M = 5$, ליוותה את הכול.

השרשרת, על הסדרה

1. סטיות לא סוכמים, מרבעים. $\sum (X - M) = 0$ תמיד, כי הממוצע הוא הנקודה המאזנת. $\sum$ נכתב ראשון ופועל אחרון: להחסיר, לרבע, ואז לסכום.
2. $SS = \sum (X - M)^2 = 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32$. בנוסחת העבודה $\sum X^2 - (\sum X)^2 / n = 232 - 1600/8 = 32$; לרבע ואז לסכום ($232$) אינו לסכום ואז לרבע ($1600$).
3. שונות $= SS /$ מכנה. כל האוכלוסייה שמעניינת אותנו: $32/8 = 4$. מדגם שממנו אומדים: $32/7 = 4.57$. המטרה קובעת את המכנה, לא הסמל שנכתב; ברירת המחדל היא ש־$S^2$ פירושו $n-1$.
4. סטיית תקן = שורש השונות: $2$, וכמדגם $2.14$. שונות היא המדד שמתפרק ומתחבר (ANOVA, רגרסיה), וסטיית תקן היא המדד שאפשר לפרש - ל"נקודות בריבוע" אין משמעות. כש־$0 < S^2 < 1$ סטיית התקן דווקא גדולה מהשונות.

למה $n-1$: הסטיות במדגם נמדדות מ־$M$ ולא מ־$\mu$, ו־$M$ ממזער את סכום הריבועים, ולכן $SS$ של מדגם קטן מדי באופן שיטתי. $n-1$ הן דרגות חופש: שלושה מספרים בממוצע $5$, שניים מהם $4$ ו־$6$, והשלישי חייב להיות $5$. $df$ יחזור בכל מבחן: $n-1$ ב־$t$ למדגם יחיד, $n_1 + n_2 - 2$ לשניים, $N - k$ ב־ANOVA.

מדדים ממיקומים בלבד

• טווח $9 - 2 = 7$ נשען על שתי תצפיות; חריג יחיד מנפח אותו. טווח שווה אינו פיזור שווה: $10, 20, 30, 40, 50$ ו־$10, 30, 30, 30, 50$.
• תחום בין־רבעוני $Q_3 - Q_1 = 6 - 4 = 2$ הוא המחצית האמצעית, עמיד בפני חריגים כמו החציון. חריג נקבע ממנו דווקא: מעבר ל־$Q_1 - 1.5 \times IQR = 1$ או $Q_3 + 1.5 \times IQR = 9$; התצפית $9$ על הגבול ואינה חריג, $10$ היה.
• כל מדד ממזער את המרחק שהוא בנוי עליו. ב־$1,\ 4,\ 4,\ 4,\ 12$ סכום הריבועים קטן ביותר סביב הממוצע ($68 < 73$), וסכום הסטיות המוחלטות סביב החציון.

מה קורה כשהנתונים משתנים

• שני הקיצורים. כשמקרבים אל הממוצע רק את התצפיות שמעליו, הממוצע והשונות יורדים שניהם. וכשהממוצע מקובע, גם הפיזור נקבע: אם מצטרף $87$ והממוצע חייב להישאר במקומו, השני חייב להיות $73$, ושתי סטיות של $7$ מול סטיית תקן $5$ מגדילות את הפיזור.
• בתצפית בודדת יודעים רק חצי. תצפית במרחק $1.4$ סטיות תקן מזיזה את הממוצע בהכרח, אבל על השונות התשובה הנכונה היא "לא ניתן לדעת".
• החציון סופר מיקומים, ולכן "תלוי". הוספת $5$ לסדרה מזיזה אותו מ־$4.5$ ל־$5$; ב־$3,\ 5,\ 5,\ 5,\ 9$ גם הוספת $90$ משאירה אותו $5$.
• משתנה $0/1$ עם שיעור $p$: $\sigma^2 = p(1-p)$, מקסימום $0.25$ ב־$p = 0.5$, וקטן עד $0$ כשכולם באותו ערך.
• מכנה $N$ במתאם הוא מוסכמת חישוב, לא הבדל מהותי; גם עם $n-1$ הגורם המשותף מצטמצם ומתקבל אותו $r$.