ציוני תקן וטרנספורמציות ליניאריות

זה הפרק המשתלם ביותר בחומר. דפוס השאלה שהיא מכינה אליו - "מה קורה ל־$X$ כאשר עושים $Y$ לנתונים?" - חוזר בבחינה גם במתאם, גם ברגרסיה וגם ב־ANOVA (נושאים שנגיע אליהם בהמשך; לא צריך להכיר אותם כדי ללמוד את הפרק הזה). המטרה כאן היא לענות על שאלות כאלה בלי לחשב כלום.

כך הדפוס נראה בפועל, בארבעה ניסוחים שכולם אותה שאלה:

• לכל הנבחנים הוסיפו 5 נקודות. מה קרה לסטיית התקן?
• הכפילו את כל הציונים פי 3. מה קרה לשונות?
• הכפילו משתנה ב־$(-1)$. מה קרה למתאם?
• העבירו את הציונים לסולם חדש. האם הדירוג בין הנבחנים השתנה?

והחדשות הטובות: אין כאן עשרות כללים נפרדים לשינון. כמעט כל הפרק נשען על ארבע הבחנות, וכל שורה בטבלאות שבהמשך נגזרת מהן:

• ערך לעומת מיקום - כמה קיבלת, לעומת איפה אתה עומד ביחס לאחרים.
• מרכז לעומת פיזור - היכן ההתפלגות יושבת, לעומת כמה היא רחבה.
• הזזה לעומת מתיחה - חיבור קבוע מזיז את הכול יחד; כפל בקבוע מותח.
• מה משתנה ומה נשאר - כל שאלה בפרק היא בסופו של דבר השאלה הזו.

מי שתופס את ארבע ההבחנות האלה עונה על רוב השאלות בלי לגעת במחשבון. היחידה הראשונה בונה את השפה; התשלום מגיע ביחידה השנייה.

למה ציון גלם לבדו לא מספיק

נתחיל מהשאלה שמניעה את כל היחידה: יעל קיבלה $85$ במבחן. האם זה ציון גבוה?

אי אפשר לדעת. אם ממוצע הכיתה היה $60$, זהו ציון גבוה מאוד ביחס לאחרים; אם הממוצע היה $90$, אותו $85$ נמצא דווקא מתחת לממוצע. ציון גלם מקבל משמעות רק בתוך הסולם שממנו הגיע: $85$ נקודות במבחן קל יכולות להיות תוצאה בינונית, ואותו $85$ במבחן קשה יכול להיות מצוין. גם אי אפשר להשוות ישירות $85$ נקודות במבחן עם זמן תגובה שנמדד בשניות. חסרה שפה משותפת.

בתמונה מסומן אותו $85$ בשתי כיתות שסטיית התקן בהן זהה: בכיתה שממוצעה $60$ הוא יושב הרחק בקצה הימני של ההתפלגות, ובכיתה שממוצעה $90$ הוא נופל אל מתחת לפסגה - אותו מספר בדיוק, ושני מיקומים הפוכים.

וגם הממוצע לבדו אינו מספיק. נניח שיעל נבחנה בשני מבחנים שבשניהם הממוצע הוא $70$, ובשניהם קיבלה $80$ - עשר נקודות מעל הממוצע בשתי הפעמים:

• במבחן א' סטיית התקן היא $10$ ← עשר הנקודות שוות סטיית תקן אחת.
• במבחן ב' סטיית התקן היא $5$ ← אותן עשר נקודות שוות כבר שתי סטיות תקן.

אותו מרחק גולמי בדיוק, שתי משמעויות שונות - כי הפיזור בקבוצות שונה. מכאן שהשפה המשותפת חייבת להביא בחשבון גם את הממוצע וגם את סטיית התקן.

ציון תקן מחליף את יחידת המקור ב"מרחקים מהממוצע". הוא דומה להמרת מטרים וסנטימטרים ליחידה משותפת: אחרי ההמרה אפשר להשוות מיקום יחסי בין סולמות שונים. לדוגמה, $Z=+1$ אומר "סטיית תקן אחת מעל הממוצע" בלי קשר לשאלה אם המקור היה ציון, זמן או מספר טעויות.

הנוסחה ושני הצעדים

ציון תקן מתרגם ציון גלם לשפה אחת: כמה סטיות תקן הוא מרוחק מהממוצע, ולאיזה כיוון. ציון גלם חסר משמעות בלי הממוצע והפיזור של הקבוצה שממנה הגיע, וכל היחידה נשענת על המעבר הזה - בשני הכיוונים:

$Z = \frac{X - M}{S} \qquad X = M + Z \cdot S$

החישוב הוא שני צעדים: קודם מפחיתים את הממוצע - וכך מתקבל המרחק ממנו; אחר כך מחלקים בסטיית התקן - וכך המרחק נמדד ביחידות הפיזור של הקבוצה ולא ביחידות של המשתנה. הטעות שכדאי להיזהר ממנה: ציון תקן אינו סטיית תקן. לכל תצפית יש ציון תקן משלה, בעוד שסטיית התקן היא מספר אחד המתאר את כל ההתפלגות.

קריאת הנוסחה כשני צעדים, על המספרים. ניקח מבחן שבו $M = 70$ ו־$S = 8$, וציון $X = 82$:

$X - M = 82 - 70 = 12 \qquad \frac{X-M}{S} = \frac{12}{8} = 1.5$

הצעד הראשון עונה על השאלה "כמה הציון רחוק מהממוצע" ותשובתו עדיין בנקודות של המבחן. הצעד השני עונה על השאלה "כמה סטיות תקן שוות $12$ הנקודות האלה" ותשובתו כבר חסרת יחידות - וזה כל הקסם: אחרי החלוקה המספר אינו שייך עוד למבחן הזה, ולכן אפשר להניח אותו ליד מספר שהגיע ממבחן אחר לגמרי.

בחלק האינטראקטיבי שלמטה אותו חישוב חוזר על ציון שגוררים: 82, ממוצע 70 וסטיית תקן 8 הם נקודת ההתחלה, ושני הצעדים נכתבים מחדש בכל תזוזה.

והכיוון ההפוך, על אותם מספרים. נתון $Z = 1.5$ ומבקשים את ציון הגלם. מכפילים בחזרה בסטיית התקן ומחזירים את הממוצע:

$X = M + Z \cdot S = 70 + 1.5 \times 8 = 70 + 12 = 82$

בדיוק הציון שממנו יצאנו. שתי הנוסחאות אינן שתי נוסחאות - הן אותה נוסחה משני צדדיה, וכל שאלה בפרק היא בסופו של דבר מסע בכיוון אחד מהשניים.

ולמה ההבחנה בין $Z$ ל־$S$ נחשבת. בכיתה של $100$ תלמידים יש סטיית תקן אחת, שהיא מאפיין של הכיתה כולה - ויש מאה ציוני תקן, אחד לכל תלמיד. $S$ הוא סרגל; $Z$ הוא מדידה בסרגל הזה.

ציון תקן מחושב רק על משתנה בסולם רווח או מנה - רק שם מוגדר ממוצע, ורק שם למרחק מהממוצע יש בכלל משמעות מספרית. לדירוג העדפה בסולם סדר אפשר לחשב חציון, אבל לא ממוצע וסטיית תקן, ולכן גם לא ציון תקן.

קריאת הסימן והגודל

לציון התקן שני מאפיינים נפרדים: הערך המספרי אומר כמה רחוק הציון מהממוצע, והסימן אומר לאיזה כיוון. חלק גדול משאלות הבחינה אינן דורשות חישוב אלא רק קריאה נכונה של המספר שכבר ניתן.

• $Z = 1.5$ - הציון נמצא סטייה וחצי מעל הממוצע.
• $Z = -0.8$ - הציון נמצא $0.8$ סטיות תקן מתחת לממוצע.
• $Z = 0$ - הציון שווה בדיוק לממוצע.

על הציר שבתמונה האפס הוא הממוצע: כל מה שמימינו נמצא מעליו וכל מה שמשמאלו מתחתיו, והמרחק מהאפס - ולא דבר נוסף - הוא מה שהמספר אומר.

הטעות הנפוצה היא להסיק מ־$Z$ שלילי שציון הגלם שלילי או שהנבחן נכשל: ציון גלם של $65$ בקבוצה שממוצעה $80$ ייתן $Z$ שלילי, אף שהציון עצמו חיובי ואולי אף ציון עובר.

$Z$ חיובי אינו בהכרח "טוב". זו שאלה ערכית ולא סטטיסטית - תלוי מה נמדד. בציונים, $Z$ גבוה טוב; בימי מחלה, $Z$ גבוה רע.

הסטטיסטיקה מתארת מיקום, לא שיפוט. ולכן כדאי לתרגל את הקריאה הזהירה על מקרה בודד. נניח שנבחן קיבל $Z = -1.2$. מה בדיוק ידוע עליו?

• ידוע: הוא נמצא $1.2$ סטיות תקן מתחת לממוצע קבוצתו. זה הכול, וזה מדויק.
• לא ידוע: אם ציון הגלם שלו שלילי (כמעט בוודאות לא), אם הוא נכשל, ואם התוצאה "טובה" או "רעה".

שלוש המסקנות שאסור להסיק הן בדיוק שלושת המסיחים שנבנים על $Z$ שלילי, ולכן כדאי לקרוא את השאלה פעמיים לפני שבוחרים בהן.

וכלל אצבע אחד על הגודל. ציון תקן קרוב ל־$0$ אומר שהתצפית טיפוסית לקבוצתה. ככל שהוא מתרחק, התצפית חריגה יותר - ומקובל לראות תצפית כחריגה כאשר $Z$ גדול מ־$3$ או קטן מ־$(-3)$. זהו כלל אצבע ולא הגדרה, אבל הוא שימושי: כשמתקבל בחישוב ציון תקן כמו $9$ או $-12$, כדאי לבדוק את החישוב ואת הנתונים - תוצאה כזו יכולה להיות נכונה, אבל לרוב היא לא.

ומה $Z$ אינו אומר: איזה אחוז מהקבוצה קיבל פחות. ציון התקן הוא מרחק מהממוצע בלבד; כדי להפוך אותו לאחוזון צריך לדעת משהו על צורת ההתפלגות, וזו היחידה הבאה.

תכונות התפלגות ציוני התקן

כשממירים את כל התצפיות של משתנה בעל פיזור שאינו אפס לציוני תקן, ההתפלגות החדשה מקיימת:

$M_Z = 0 \qquad S_Z = 1 \qquad S^2_Z = 1$

למה הממוצע החדש הוא אפס? כי חיסרנו מכל ציון את הממוצע. למה סטיית התקן החדשה היא אחת? כי חילקנו את כל המרחקים בסטיית התקן המקורית. זה נכון ללא קשר לממוצע המקורי ולצורת ההתפלגות, וזו התכונה שמאפשרת להשוות בין סולמות. הסיבה נראית מיד כשקוראים את הנוסחה כטרנספורמציה בת שני שלבים.

הנימוק, צעד אחרי צעד. ניקח התפלגות שבה $M = 76$ ו־$S = 8$.

שלב 1 - מפחיתים $76$ מכל התצפיות. הממוצע היה $76$, ולכן הממוצע החדש הוא $76 - 76 = 0$. וכעת שימו לב למה לא קרה: שני נבחנים שהיו רחוקים זה מזה $10$ נקודות עדיין רחוקים זה מזה $10$ נקודות, כי שניהם ירדו באותו קבוע. אף מרחק לא השתנה, ולכן סטיית התקן עדיין $8$.

שלב 2 - מחלקים את כל התצפיות ב־$8$. עכשיו כל המרחקים קטנים פי $8$, ולכן גם סטיית התקן קטנה פי $8$: מ־$8$ ל־$1$. והממוצע? $0$ מחולק ב־$8$ הוא עדיין $0$, ולכן הוא נשאר במקומו. השונות היא ריבוע סטיית התקן, ו־$1^2 = 1$.

בשורה אחת: קודם מזיזים את הממוצע ל־$0$, ואז משנים את יחידת המדידה כך שסטיית תקן אחת תהיה שווה בדיוק ל־$1$. אותה סדרת פעולות בדיוק, על כל התפלגות שהיא, תמיד תיתן $M = 0$ ו־$S = 1$ - ולכן שני המספרים האלה אינם ממצא על הנתונים אלא תוצאה מובנית של הפעולה.

שתי זהויות שנובעות מכאן. הבחינה עובדת כאן במכנה $N$ - וכך גם היחידה הזו, בניגוד לברירת המחדל $n-1$ שראינו בפרק היסודות. כשהשאלה אומרת איזה מכנה, הולכים אחריה:

$\sum Z = 0 \qquad \sum Z^2 = N$

הראשונה נובעת מכך שממוצע ציוני התקן הוא $0$: סכום חלקי $N$ שווה לאפס, ולכן הסכום עצמו אפס. השנייה נובעת מכך ששונותם היא $1$: סכום הריבועים חלקי $N$ שווה לאחת, ולכן סכום הריבועים הוא $N$. אם סטיית התקן שבה תוקננו הציונים חושבה במכנה $N-1$, הזהות השנייה משתנה ל־$\sum Z^2=N-1$ - אין כאן סתירה לפרק היסודות, רק מכנה אחר, ולכן תמיד בודקים איזו הגדרה נתונה בשאלה.

שתי הכרעות מהירות. אם ציון תקן אחד אבד, הוא שווה למינוס סכום כל השאר; נתונים אחרים בשאלה, כמו הממוצע וסטיית התקן המקוריים, אינם נחוצים. ואם מוצע סט של $N$ ציוני תקן, סכום שאינו $0$ או סכום ריבועים שאינו $N$ פוסל אותו מיד.

המקרה שבו זה נשבר. אם כל התצפיות זהות - כל הכיתה קיבלה $76$ - אז $S = 0$, והמכנה בנוסחה מתאפס. חלוקה באפס אינה מוגדרת, ולכן ציון התקן אינו מוגדר. אין כאן פרט טכני: בלי שום פיזור אין בכלל משמעות לשאלה "כמה סטיות תקן מעל הממוצע", כי אין סרגל למדוד בו.

ומה שסטנדרטיזציה אינה עושה. המילה "תקנון" מזמינה את המחשבה שאנחנו מתקנים את צורת ההתפלגות. לא. אם היה זנב ימני - הוא נשאר זנב ימני; אם היו שתי פסגות - הן לא נעלמו; אם ההתפלגות הייתה מוטה - היא מוטה באותה מידה בדיוק. משתנים רק המספרים על הציר.

מה קורה בהתפלגות א־סימטרית

תזכורת קצרה מפרק היסודות: בהתפלגות א־סימטרית הממוצע נגרר לכיוון הזנב הארוך, ולכן בזנב ימני מתקבל לרוב הסדר שכיח < חציון < ממוצע, ובזנב שמאלי הסדר ההפוך. הטבלה המלאה, התרשים והסייגים לכלל נמצאים בפרק היסודות.

וכאן הנקודה שנשאלת: סטנדרטיזציה אינה משנה את התמונה הזו כלל. במקרה השכיח שתואר כאן, שבו הממוצע גדול מן החציון, אחרי ההמרה הממוצע יהיה $0$ והחציון יהיה שלילי; אם גם השכיח קטן מן החציון, הוא יהיה שלילי עוד יותר. נניח שהחציון היה $72$ והשכיח $68$. אחרי ההמרה: הממוצע $(76-76)/8 = 0$, החציון $(72-76)/8 = -0.5$, השכיח $(68-76)/8 = -1$. הסדר נשמר, כי חיסור וחלוקה בקבוע חיובי שומרים סדר.

שני התרשימים שבתמונה הם אותה התפלגות לפני התקנון ואחריו: העקומה זהה בצורתה ובזנבה, ורק המספרים על הציר השתנו - הממוצע נחת על $0$, והחציון והשכיח נשארו משמאלו ולכן יצאו שליליים.

ודיוק אחד שכדאי לשים לב אליו: הפחתת הממוצע מעבירה ל־$0$ את הממוצע בלבד. החציון והשכיח זזים באותו קבוע בדיוק, והם יגיעו ל־$0$ רק אם היו שווים לממוצע לפני התקנון - בהתפלגות א־סימטרית זה בדרך כלל לא המצב, וזו בדיוק הסיבה שאפשר לראות אחריהם ערכים שליליים.

לכן גם המשפט "אחרי סטנדרטיזציה $68\%$ מהתצפיות נמצאות בין $-1$ ל־$+1$" נכון רק אם ההתפלגות המקורית נורמלית. בהתפלגות עקומה אין שום ערובה שהוא מתקיים.

השוואה בין סולמות וצירוף מדדים

זהו השימוש המרכזי של ציון התקן: לקבוע מי נמצא גבוה יותר ביחס לממוצע ולפיזור של קבוצתו, כששני הציונים מגיעים ממבחנים או ממדדים שונים. זהו השימוש היומיומי של ציון התקן, וההרגל שהבחינה מניחה כשהיא שואלת מה שורד טרנספורמציה. המלכודת בנויה כך שציון הגלם הגבוה יותר שייך דווקא למי שמיקומו היחסי נמוך יותר. הדרך: מחשבים $Z$ בכל סולם בנפרד ומשווים את שני ציוני התקן על ציר המספרים הרגיל. דנה קיבלה $80$ במבחן שבו $M = 70$ ו־$S = 5$ ($Z = 2.0$), ו־$90$ במבחן שבו $M = 75$ ו־$S = 10$ ($Z = 1.5$) - ולכן מיקומה טוב יותר דווקא במבחן הראשון. הטעות הנפוצה: להשוות ציוני גלם ישירות; וכששני ציוני התקן שליליים - להשוות ערכים מוחלטים במקום את המספרים עצמם ($-0.67$ גדול מ־$-0.80$).

השיטה, בשלושה צעדים. כששאלה נותנת שני ציונים משתי קבוצות שונות, מחפשים בטקסט שלושה מספרים לכל אחד - ציון גלם, ממוצע הקבוצה שלו וסטיית התקן שלה - מחשבים $Z$ לכל אחד בנפרד, ורק אז משווים את שני ציוני התקן זה לזה. את ציוני הגלם עצמם לא משווים אף פעם.

בחלק האינטראקטיבי שלמטה כל ציון יושב על הסולם של המבחן שלו - הקו המקווקו הוא הממוצע, והסימונים הם סטיות תקן ממנו - ומתחת שניהם נופלים על ציר ציוני תקן אחד. שלושת הכפתורים טוענים את שלוש הדוגמאות של תת־היחידה: דנה, לירון ומיכאל, ונדב, שמופיעות בהמשך.

דוגמה - מי פחות רחוק מתחת לממוצע? שני שחקני כדורסל משחקים בקבוצות שונות, וכל אחד נמדד ביחס לממוצע קבוצתו:

לאלון ציון הגלם הגבוה יותר, אבל יחסית לקבוצתו רועי טוב יותר: $-0.67$ גדול מ־$-0.80$, כלומר רועי נמצא פחות מתחת לממוצע שלו.

וכאן נמצאת המלכודת שקל ליפול בה: כששני המספרים שליליים, ההשוואה נעשית על ציר המספרים ולא לפי הגודל המוחלט. $0.80$ אמנם גדול מ־$0.67$, אבל $-0.80$ קטן מ־$-0.67$. שיטת בטיחות: מי שה־$Z$ שלו קרוב יותר לאפס נמצא קרוב יותר לממוצע קבוצתו, וכששניהם שליליים זהו המיקום העדיף.

ואותו דבר בכיוון השני, כשהציון הגלם זהה. לירון ומיכאל קיבלו שניהם $85$, ובשתי הכיתות הממוצע הוא $75$:

המונה זהה בשני החישובים - שניהם $85 - 75 = 10$ - וכל ההבדל נוצר במכנה:

מיכאל לומד בכיתה הומוגנית - הציונים בה צפופים סביב הממוצע, ולכן $85$ הוא הישג חריג. לירון לומדת בכיתה הטרוגנית - ציונים רחוקים מהממוצע, לשני הכיוונים, שכיחים בה יותר - ולכן $85$ בולט פחות. אותו ציון גלם, מיקום יחסי שונה לגמרי. וזה כלל שכדאי לקחת הלאה: ככל שסטיית התקן קטנה יותר, אותו מרחק גולמי מהממוצע שווה ליותר סטיות תקן - ולכן הופך להישג חריג יותר.

בגרסה השנייה של השאלה גם הממוצעים שונים, וההיפוך חד עוד יותר: נדב קיבל $85$ בחשבון ($M = 72$, $S = 7$) ו־$83$ בספרות ($M = 76$, $S = 3$). לפי הציון הגלם הוא חזק יותר בחשבון; לפי ציון התקן - $Z = 1.86$ בחשבון לעומת $Z = 2.33$ בספרות - הוא חזק יותר דווקא בספרות. שני המכנים עושים כאן את העבודה: בחשבון פער של $13$ נקודות מחולק בסטיית תקן $7$, ובספרות פער קטן יותר של $7$ נקודות מחולק בסטיית תקן $3$ בלבד - כיתה הומוגנית שבה כל נקודה שווה יותר.

ולצרף, לא רק להשוות

זו לא רק דרך להשוות שני נבחנים - היא גם התנאי שמאפשר לצרף מדדים שנמדדו בסולמות שונים למספר אחד, במקום להשוות אותם בזוגות. שלושה מועמדים לתפקיד עוברים מבחן ידע כללי ($0$–$100$) ומקבלים מצוות המראיינים ציון חברותיות וציון יוזמה, שניהם בסולם רווח של $0$–$10$. בקבוצת כלל המועמדים ידוע: מבחן הידע $M = 90$, $S = 4$; חברותיות $M = 3$, $S = 1$; יוזמה $M = 3$, $S = 1$.

שלושת ממוצעי הגלם צמודים ($33.27$–$33.67$), כי ציוני הידע גדולים בהרבה מציוני החברותיות והיוזמה ולכן בולעים אותם כמעט לגמרי - ממוצע הגלם כמעט ולא מבדיל בין המועמדים. וזו בעיית יחידות, לא החלטה מקצועית: איש לא הכריע שהידע חשוב פי עשרה מהיוזמה, אלא שסולם ה־$0$–$100$ פשוט מייצר מספרים גדולים יותר מסולם ה־$0$–$10$, ובממוצע פשוט המספר הגדול קובע.

אחרי המרה לציוני תקן ($Z$ ידע $= (X-90)/4$ וכן הלאה לשני האחרים) התמונה מתהפכת. הנה החישוב במלואו לשני המועמדים המובילים:

ממוצע שלושת ציוני התקן של א' הוא $(1.25 + 1.5 - 1.5)/3 = +0.42$, ושל ב' הוא $(0.75 - 1.0 + 1.8)/3 = +0.52$. ההפרשים ברורים, ואפילו הסדר מתהפך: לפי הגלם מועמד א' מוביל, אבל לפי ממוצע ציוני התקן מועמד ב' מוביל - למרות שממוצע הגלם שלו הנמוך ביותר משלושתם. הסיבה גלויה במספרים: הפער של $2$ נקודות ידע בין א' לב' שווה חצי סטיית תקן בלבד, ואילו הפער של $3.3$ נקודות ביוזמה שווה $3.3$ סטיות תקן - פער עצום שממוצע הגלם כמעט מחק. סטנדרטיזציה היא שמאפשרת לצרף מדדים שהגיעו מסולמות שונים בלי שאחד ישלוט רק בגלל יחידות המדידה שלו. שימו לב שגם היא בוחרת משקלות: כל מדד נכנס לממוצע לפי מספר סטיות התקן שלו.

סיכום: ציון תקן כשפה משותפת

יעל קיבלה $85$. האם זה ציון גבוה? מול ממוצע $60$ כן, מול ממוצע $90$ לא, וגם הממוצע לבדו אינו מספיק: עשר נקודות מעל $70$ הן סטיית תקן אחת כש־$S = 10$ ושתיים כש־$S = 5$. היחידה בנתה מזה שפה אחת, ציון תקן, והראתה למה רק בה מותר להשוות ולצרף.

שני צעדים, שתי שאלות

$Z = (X - M)/S$, ובמספרים $(82 - 70)/8 = 1.5$.

להחסיר את הממוצע עונה "כמה רחוק", עדיין בנקודות. לחלק בסטיית התקן עונה "כמה סטיות תקן", וזה כבר חסר יחידות, ולכן אפשר להשוות בעזרתו בין מבחנים. ובחזרה: $X = M + Z \cdot S = 70 + 1.5 \times 8 = 82$. אותה נוסחה משני צדדיה.

מה $Z$ אומר, ומה לא

ציון תקן אינו סטיית תקן. בכיתה של $100$ יש סטיית תקן אחת ומאה ציוני תקן. $S$ הוא סרגל, $Z$ מדידה בסרגל הזה. וכשכל התצפיות זהות, $S = 0$ ו־$Z$ אינו מוגדר: אין סרגל.

להשוות ולצרף

• את ציוני הגלם לא משווים אף פעם. דנה: $80$ מול $70/5$ הוא $2.0$; $90$ מול $75/10$ הוא $1.5$. הגלם הגבוה שייך למי שמיקומו היחסי נמוך יותר, וכך בנויה המלכודת כמעט תמיד.
• אותו גלם, מכנה שונה. לירון ומיכאל קיבלו $85$ מול ממוצע $75$; $S = 10$ נותן $1.0$, $S = 5$ נותן $2.0$. ככל שסטיית התקן קטנה, אותו מרחק גולמי שווה ליותר סטיות תקן.
• "מי גבוה יותר" ו"מי רחוק יותר מהממוצע" הן שתי שאלות. הראשונה על ציר המספרים, השנייה לפי הגודל בלבד. שני $Z$ שליליים: רועי $-0.67$ טוב מאלון $-0.80$, כי הוא קרוב יותר לאפס.
• צירוף מדדים: ממוצע ציוני התקן, לא ממוצע הגלם. סולם $0$–$100$ בולע סולם $0$–$10$; מועמד ב׳ $+0.52$ מול $+0.42$ של א׳. גם ממוצע ציוני התקן הוא בחירת משקלות: כל מדד נכנס לפי מספר סטיות התקן שלו.

כשממירים את כולם

• $M_Z = 0$ ו־$S_Z = 1$ אינם ממצא על הנתונים אלא תוצאה מובנית של הפעולה: חיסרנו מכל ציון את הממוצע וחילקנו את כל המרחקים בסטיית התקן. עם $M = 76$, $S = 8$: מחסרים $76$, מחלקים ב־$8$.
• סטנדרטיזציה משנה מספרים, לא צורה. זנב ימני נשאר זנב ימני; חציון $72$ ושכיח $68$ נעשים $-0.5$ ו־$-1$. הפחתת הממוצע לא נוגעת באף מרחק; רק החלוקה משנה את הסרגל.
• שתי זהויות במכנה $N$: $\sum Z = 0$, $\sum Z^2 = N$ (במכנה $n-1$: $\sum Z^2 = n-1$; הבחינה עובדת ב־$N$). ציון תקן שאבד הוא מינוס סכום כל השאר; אין צורך בממוצע ובסטיית התקן המקוריים.

מה חוזר בטעויות

1. לבלבל ציון תקן עם סטיית תקן.
2. לקרוא $Z$ שלילי כציון שלילי או ככישלון ($65$ מול ממוצע $80$).
3. להשוות ציוני גלם במקום ציוני תקן (דנה: $90 > 80$, אבל $1.5 < 2.0$).
4. להשוות שליליים בערך מוחלט ($-0.80$ "גדול" מ־$-0.67$).
5. לצפות שסטנדרטיזציה תיישר התפלגות מוטה, או תיתן $68\%$ בין $\pm 1$ כשהיא אינה נורמלית.
6. לחפש בשאלת "ציון תקן שאבד" את הממוצע וסטיית התקן, כשמינוס סכום השאר מספיק.

בדקו את עצמכם

קיבלתם $Z = -1$. האם הציון שלכם שלילי? לא. אתם סטיית תקן אחת מתחת לממוצע הקבוצה. ציון הגלם כמעט בוודאות חיובי, ואם עברתם או נכשלתם $Z$ לא אומר.

ידוע רק ש־$Z = 1$. אפשר לקבוע את האחוזון? לא. $Z$ הוא מרחק מהממוצע; לתרגם אותו לאחוז שקיבל פחות צריך לדעת את צורת ההתפלגות.

נדב קיבל $85$ בחשבון ($M = 72$, $S = 7$) ו־$83$ בספרות ($M = 76$, $S = 3$). איפה הוא חזק יותר? בספרות: $Z = 2.33$ מול $1.86$ בחשבון. פער קטן יותר בנקודות, אבל מחולק בסטיית תקן של $3$ בלבד.

המירו את כל הכיתה לציוני תקן. הממוצע $0$, ומה החציון? לא בהכרח $0$. הפחתת הממוצע מעבירה לאפס את הממוצע בלבד; בהתפלגות עם זנב ימני החציון יוצא שלילי.

ארבעה ציוני תקן: $1.2$, $-0.5$, $0.8$ והרביעי אבד. מה הוא? $-(1.2 - 0.5 + 0.8) = -1.5$, כי $\sum Z = 0$ תמיד.

שלושת סוגי השינויים בנתונים

בבחינה מופיעים שלושה סוגי שינוי, ורק הראשון הוא טרנספורמציה ליניארית: שינוי אחיד בכל הנתונים (תוספת של $5$ נקודות לכולם, הכפלת כל הציונים), שינוי חלקי בחלק מהם (תוספת רק לנכשלים), ושינוי במספר הנתונים (הוספה או הסרה של נבדקים). כללי המטריצה שבהמשך תקפים רק לסוג הראשון, ולכן זיהוי הסוג הוא הצעד הראשון בכל שאלה כזו. שינוי חלקי ← לרוב צריך לחשב מחדש, ולפעמים אפשר לקבוע רק כיוון. שינוי במספר הנתונים ← חוזרים אל הסכום, $\sum X = M \times N$: $24$ תלמידים בממוצע $74$, נוסף ציון $99$ ← $(1776 + 99)/25 = 75$. הטעות הנפוצה: להחיל את כללי הטרנספורמציה על שינוי שאינו אחיד.

בתמונה אותם חמישה ציונים עוברים כל אחד משלושת השינויים: בשינוי האחיד כל החצים באותו אורך והמרחקים נשמרים, בשינוי החלקי זזות רק שתי התצפיות הנמוכות ולכן המרחקים משתנים, ובשינוי במספר הנתונים אף ציון קיים אינו זז - רק הממוצע נגרר אל התצפית שנוספה.

שימו לב למילה אחיד: כל התצפיות, ללא יוצא מן הכלל, משתנות לפי אותו כלל. ברגע שהשינוי חל רק על חלק מהנתונים, הכללים שבהמשך אינם תקפים. ותנאי שני, שקל לפספס: הכלל עצמו חייב להיות אותה הוספה ואותה הכפלה לכולם, $X_{\text{new}} = a + b \cdot X$ - הכפלה ב־$2$ והוספת $5$, למשל. פעולה זהה על כולם אינה מספיקה: העלאת כל הציונים בריבוע היא שינוי אחיד, אבל לא ליניארי, והטבלה אינה חלה עליה.

1. שינוי אחיד. הכתוב אומר "לכל הנבחנים", "כל הציונים", "לכולם" - $X_{\text{new}} = X + 5$ לכולם, או $X_{\text{new}} = 2X$ לכולם. רק כאן חלה מטריצת ההשפעות שבהמשך, וכאן אין צורך לחשב דבר.

2. שינוי חלקי. למשל: "רק תלמידים שקיבלו פחות מ־$60$ קיבלו תוספת של $10$ נקודות". כאן חלק מהתצפיות זזו וחלק לא, ולכן המרחקים בין התצפיות השתנו - הנכשלים התקרבו לשאר הכיתה. ברגע שהמרחקים השתנו בדרכים שונות, אי אפשר לומר אוטומטית שסטיית התקן נשארה כשהייתה או הוכפלה בקבוע - צריך לחשב מחדש. גם "כיוון בלבד" אינו מובטח כאן: לרוב הכיתה אכן נעשית הומוגנית יותר וסטיית התקן קטנה, אבל נבחן שקיבל $59$ ועלה ל־$69$ עקף את מי שקיבלו $60$–$68$, ובקבוצה צפופה כזו הפיזור יכול דווקא לגדול.

3. שינוי במספר הנתונים. כאן לא שינינו אף ציון קיים; הוספנו מידע חדש. הדרך היא תמיד דרך הסכום, $\sum X = M \times N$:

וכלל אצבע שחוסך חישוב: תצפית שנוספה מעל הממוצע מושכת אותו למעלה, תצפית מתחת מושכת אותו למטה, ותצפית שערכה בדיוק הממוצע אינה משנה אותו כלל. ולפיזור כלל נפרד: תצפית ששווה לממוצע מוסיפה סטייה אפס אבל מגדילה את המכנה, ולכן השונות קטנה; והחציון, שסופר מיקומים, יכול לזוז כשמספר התצפיות עובר מאי־זוגי לזוגי.

שלוש השאלות שפותחות כל שאלת שינוי, לפני כל נוסחה: (א) האם השינוי חל על כל התצפיות? (ב) האם נוספו או הוסרו תצפיות? (ג) ואם זה שינוי אחיד - האם זו הוספה, הכפלה או שילוב של השתיים? המילים שמכריעות בסעיף (א) הן לרוב "לכל הנבדקים" או "לכל הציונים"; בהיעדרן, אל תשלפו את הטבלה.

הזזה, מתיחה ומטריצת ההשפעות

בפרק היסודות כבר ראינו שהוספת קבוע מזיזה את המרכז בלי לשנות פיזור, ושכפל משנה את סטיית התקן פי ערך הקבוע המוחלט ואת השונות פי ריבועו. כאן נשתמש בכללים האלה כדי לעקוב אחרי מרחקים וציוני תקן, להסביר כפל שלילי ולחבר את התוצאות למטריצת השפעות אחת.

מהיכן השם "ליניארית"? מכל טרנספורמציה מהצורה $Y = a + bX$ מקבלים נקודות שנופלות בדיוק על קו ישר כשמציירים אותן - לא בקירוב. טרנספורמציה שאינה מהצורה הזו (שורש, ריבוע) מייצרת עקומה, לא קו.

טרנספורמציה ליניארית היא כל פעולה מהצורה $X_{\text{new}} = a + b \cdot X$ המופעלת על כל התצפיות כאחת, ושני מרכיביה פועלים שונה: הוספת קבוע $c$ מזיזה את ההתפלגות, והכפלה בקבוע $k$ מותחת אותה. מכאן כל התשובות לדפוס "מה קורה ל־$X$ כשעושים $Y$ לנתונים", בלי לחשב: בהוספת קבוע מדדי המרכז (ממוצע, חציון, שכיח) זזים ב־$c$, ומדדי הפיזור (טווח, תחום בין־רבעוני, סטיית תקן, שונות) אינם משתנים כלל; בהכפלה בקבוע המרכז והפיזור מוכפלים שניהם. שתי שורות מקבלות מיד טיפול נפרד: השונות, שמוכפלת ב־$k^2$, והכפל בקבוע שלילי, שהופך את הסדר. הוסיפו $5$ נקודות לכל הציונים - הממוצע עלה ב־$5$, סטיית התקן לא זזה. הטעות הנפוצה: להחיל את כללי ההכפלה על הוספת קבוע, או להפך.

ההבדל בין השתיים, על שלושה מספרים. ניקח את הסדרה $10,\ 20,\ 30$ ונפעיל עליה כל אחת מהפעולות בנפרד. השאלה שתכריע בכל שורה בטבלאות שבהמשך היא אחת: מה קרה למרחקים בין התצפיות?

בהוספה אף תצפית לא התקרבה לאחרת ואף אחת לא התרחקה - ההתפלגות כולה פשוט החליקה ימינה. בהכפלה, לעומת זאת, ציר המספרים כולו נמתח פי $2$ (והכפלה ב־$0.5$ הייתה מכווצת אותו לחצי), ולכן גם המרכז וגם הפיזור זזו. וכל מדדי הפיזור - טווח, תחום בין־רבעוני, סטיית תקן, שונות - אינם אלא דרכים שונות למדוד מרחקים. מכאן שתי השורות הראשונות של המטריצה, בלי שינון.

בחלק האינטראקטיבי שלמטה אותה סדרה 10, 20, 30 עוברת את שתי הפעולות בשני מחוונים, והטבלה מסמנת אילו מדדים זזו; נסו קודם רק חיבור, ואז רק כפל.

1. הוספת קבוע - $X + c$

כל ההתפלגות מוזזת ימינה או שמאלה. צורתה אינה משתנה, והמרחקים בין התצפיות נשמרים.

• הממוצע, החציון והשכיח זזים ב־$c$.
• הפיזור לא משתנה בכלל - לא הטווח, לא התחום הבין־רבעוני, לא סטיית התקן ולא השונות.
• ציוני ה־$Z$ לא משתנים: גם המונה וגם המכנה נשארו כשהיו.

השורה השנייה אינה ארבעה כללים אלא אחד, ואין צורך לנמק אותה מדד־מדד: חזרו לציר המספרים שלמעלה (הוספת $5$) וראו שהמדידה מתחת לשורה השנייה יצאה בדיוק כמו זו שמעליה. כל מדדי הפיזור בנויים על הפרשים, והפרש אינו מרגיש בהזזה משותפת. בטווח זה נראה במפורש - המקסימום והמינימום אמנם גדלו ב־$c$, אבל ההפרש ביניהם מקזז את התוספת:

$(X_{\max} + c) - (X_{\min} + c) = X_{\max} - X_{\min}$

ה־$c$ נכנס פעמיים בסימנים מנוגדים ומתבטל, ואותו קיזוז בדיוק חוזר בתחום הבין־רבעוני, בסטיית התקן ובשונות.

ואותה אלגברה בדיוק מסבירה את שורת ציון התקן. המונה הוא $X - M$; אחרי ההוספה הציון הוא $X + c$ והממוצע הוא $M + c$, ולכן:

$Z_{\text{new}} = \frac{(X+c) - (M+c)}{S} = \frac{X - M}{S} = Z$

המכנה $S$ ממילא לא זז, כפי שראינו זה עתה. כלומר הוספת קבוע לכל הנתונים אינה משנה אף ציון תקן.

איך זה נראה בבחינה. "לכל הנבחנים הוסיפו $7$ נקודות. מה קרה לסטיית התקן?" אין כאן מה לחשב: כולם זזו יחד, המרחקים לא השתנו, ולכן סטיית התקן לא השתנתה. המסיח הבנוי על השאלה הזו מוסיף את $7$ גם לסטיית התקן. הוספת קבוע נוגעת במיקום, לא בפיזור.

2. הכפלה בקבוע חיובי - $k \cdot X$, כאשר $k > 0$

ההתפלגות נמתחת (או מתכווצת) סביב האפס, והמרכז והפיזור משתנים באותו יחס: הממוצע, החציון, השכיח, הטווח, התחום הבין־רבעוני וסטיית התקן מוכפלים כולם ב־$k$. אלא שהשונות מוכפלת ב־$k^2$, לא ב־$k$:

$S_{\text{new}} = \lvert k \rvert \cdot S \qquad S^2_{\text{new}} = k^2 \cdot S^2$

הסיבה: בדרך לשונות מעלים את הסטיות מהממוצע בריבוע, ולכן הקבוע נכנס פעמיים. זו הטעות הנפוצה ביותר ביחידה, והמסיח הבנוי עליה מופיע כמעט בכל שאלת טרנספורמציה שמזכירה שונות - שונות $4$, הכפלה ב־$3$ ← השונות החדשה היא $3^2 \times 4 = 36$, ולא $12$. הטעות המשלימה היא להחיל את הריבוע דווקא על סטיית התקן ולקבל $9 \times 6 = 54$ במקום $18$.

למה דווקא בריבוע - על מספר אחד. נניח שתצפית מסוימת הייתה במרחק $2$ מהממוצע, וכל הנתונים הוכפלו ב־$3$. המרחק עצמו גדל פי $3$:

$2 \times 3 = 6$

אבל השונות אינה מסתכלת על המרחק, אלא על ריבוע המרחק. לפני ההכפלה תרם המרחק הזה $2^2 = 4$; אחריה הוא תורם $6^2 = 36$. והיחס בין השניים:

$\frac{36}{4} = 9 = 3^2$

כשכל המרחקים גדלים פי $k$, כל ריבועיהם גדלים פי $k^2$ - ולכן גם הממוצע שלהם, שהוא בדיוק השונות. סטיית התקן היא השורש של השונות, וכך הריבוע מתקזז והיא חוזרת לגדול פי $\lvert k \rvert$ בלבד. שתי השורות אינן שני כללים אלא כלל אחד שנמדד בשתי יחידות.

ציוני ה־$Z$, לעומת זאת, לא משתנים: המונה והמכנה הוכפלו שניהם באותו גורם. באותיות, כאשר כל הנתונים מוכפלים ב־$k > 0$ גדל גם המרחק מהממוצע פי $k$ וגם סטיית התקן פי $k$:

$Z_{\text{new}} = \frac{k(X - M)}{kS} = \frac{X - M}{S} = Z$

בחלק האינטראקטיבי שלמטה הזיזו רק את קבוע הכפל k ועקבו אחרי שורת "אחרי" בטבלה: סטיית התקן גדלה פי k, השונות פי k², וציון התקן של 30 לא זז.

3. הכפלה בקבוע שלילי - $k \cdot X$, כאשר $k < 0$

הכפלה בקבוע שלילי עושה בדיוק מה שעושה הכפלה בחיובי, ובנוסף הופכת את ההתפלגות סביב האפס - וזו השורה היחידה במטריצה שבה ציון התקן, המתאם והדירוג היחסי כן משתנים.

• סטיית התקן מוכפלת ב־$\lvert k \rvert$ והשונות ב־$k^2$; שתיהן נשארות חיוביות תמיד.
• ציוני ה־$Z$ והמתאם $r$ הופכים סימן ושומרים על גודלם.
• הדירוג היחסי מתהפך: מי שהיה ראשון הופך לאחרון.

סטיית תקן $6$, הכפלה ב־$(-3)$ ← סטיית התקן החדשה היא $\lvert -3 \rvert \times 6 = 18$, ולא $-18$. הטעות הנפוצה: לדווח סטיית תקן שלילית, או לשכוח את היפוך הסימן של $r$ ושל $Z$.

ההיפוך, על שלושה מספרים. ניקח את הסדרה $1,\ 2,\ 3$ ונכפיל ב־$(-1)$. מתקבל $-1,\ -2,\ -3$, וכשמסדרים את הערכים מקטן לגדול מתגלה מה קרה:

לפני ההכפלה $1 < 2 < 3$, ואחריה $-3 < -2 < -1$.

מי שהיה הגדול ביותר הפך לקטן ביותר. זו הפעולה החדשה שמופיעה רק כאשר $k < 0$, והיא היחידה בכל הפרק שמערבבת את סדר התצפיות ולא רק את ערכיהן.

בחלק האינטראקטיבי שלמטה גררו את קבוע הכפל k אל מתחת לאפס: הקווים שמחברים כל תצפית למקומה החדש מצטלבים, וסימן ציון התקן מתהפך.

ומה בכל זאת נשאר כמו בכפל חיובי. גודל המרחקים עדיין מוכפל ב־$\lvert k \rvert$, ולכן $S_{\text{new}} = \lvert k \rvert \cdot S$ ו־$S^2_{\text{new}} = k^2 \cdot S^2$. שתי הנוסחאות מחזירות מספר אי־שלילי תמיד - הערך המוחלט מוחק סימן, והריבוע מוחק סימן - וזה מתיישב עם ההיגיון: מרחק בין שתי תצפיות אינו יכול להיות שלילי, ולכן גם מדד פיזור לא.

מה שכן הופך סימן הוא ציון התקן. המרחק מהממוצע, $X - M$, מתהפך יחד עם כל הציר, אבל המכנה $S$ נשאר חיובי - ולכן $Z_{\text{new}} = -Z$. נבחן שהיה $Z = 1.4$ יימצא אחרי ההכפלה ב־$Z = -1.4$: הגודל נשמר, הכיוון התהפך. ובאותו אופן הדירוג: מי שהיה ראשון הופך לאחרון, מי שהיה שני מלמעלה הופך לשני מלמטה, וכן הלאה עד סוף הרשימה.

מטריצת ההשפעות

זו הטבלה שכל שאלה בפרק נפתרת ממנה - ואפשר לשחזר אותה משלושה משפטים. $c$ הוא קבוע חיבור, $k$ קבוע כפל.

שתיים מהשורות עוסקות במתאם, שמגיע רק בהמשך. כדי לקרוא אותן לא צריך לדעת מתאם, אלא רק מה המספר הזה אומר:

• $r$ הוא מספר בין $-1$ ל־$+1$ שמודד את הקשר בין שני משתנים.
• הסימן אומר את כיוון הקשר, והגודל את חוזקו.
• $r$ חסר יחידות - ולכן, כפי שנראה בטבלה, הוא לרוב אדיש לשינויי סולם.
• ברגרסיה הליניארית הפשוטה שנלמד כאן, $R^2$ הוא $r$ בריבוע, והוא מה שהבחינה מכנה שיעור השונות המוסברת.

אל תנסו לזכור את הטבלה כשלוש־עשרה שורות בלתי קשורות. כמעט כולה נובעת משלושה משפטים, ומי שזוכר אותם יכול לשחזר כל שורה בזמן אמת:

1. הוספה מזיזה את כולם יחד, ולכן אינה נוגעת במרחקים. ← כל מדדי המרכז זזים ב־$c$, כל מדדי הפיזור נשארים.
2. כפל משנה את כל המרחקים באותו יחס. ← המרכז והפיזור מוכפלים שניהם.
3. כפל שלילי מוסיף לכך היפוך סדר. ← רק כאן משתנים ציון התקן, המתאם והדירוג.

ושורת השונות מקבלת יחס מיוחד מסיבה אחת בלבד: היא נמדדת בריבועי מרחקים.

ומקרה קצה שאינו בטבלה: הכפלה ב־$k = 0$ מאפסת את כל הפיזור, ולכן ציון התקן והמתאם אינם מוגדרים - אין סרגל למדוד בו.

בחלק האינטראקטיבי שלמטה אפשר לאמת כל שורה במטריצה על סדרה של שלושה מספרים: c לבד, k חיובי לבד, ואז k שלילי.

השורות שנלמדות בפרקים הבאים

השורות שמסומן לידן פרק שייכות לפרקים מאוחרים, וכל אחת תקבל שם את ההסבר שלה. כרגע מספיק לזכור שהן לא זזות, ואפשר להתמקד במדדים שכבר למדנו. למי שרוצה כבר עכשיו, די לדעת: $SS$ הוא סכום ריבועי הסטיות; $F$ ו־$\eta^2$ הם יחסים בין סכומי ריבועים; $t$ הוא הפרש ממוצעים חלקי פיזור; רווח סמך הוא קטע על הסולם. $SS$ בנוי מריבועי סטיות, ולכן הוא מתנהג בדיוק כמו השונות: הוספת קבוע אינה נוגעת בו, והכפלה ב־$k$ מכפילה אותו ב־$k^2$. ומכיוון שכל סכומי הריבועים במבחן - של הקבוצות, של השארית ושל הסך הכול - מוכפלים באותו $k^2$ בדיוק, כל יחס ביניהם נשאר כשהיה. לכן $F$, ערך $p$ ו־$\eta^2$ אינם משתנים כלל.

$t$ מקבל שורה נפרדת מסיבה אחת: המונה שלו הוא הפרש, לא ריבוע. בהכפלה בקבוע חיובי המונה והמכנה גדלים באותו יחס ו־$t$ נשמר, אבל בהכפלה בקבוע שלילי המונה הופך סימן והמכנה נשאר חיובי, ולכן $t$ הופך סימן וגודלו נשמר. שימו לב שהשורות האלה מניחות שגם ערך ההשוואה - $\mu_0$ שנבדק - עבר את אותה טרנספורמציה; אחרת המונה כבר אינו מודד את אותו הפרש.

ורווח סמך לממוצע הוא פשוט קטע על הסולם: הוספת קבוע מזיזה את שני גבולותיו ב־$c$ ואינה משנה את רוחבו, והכפלה ב־$k$ מכפילה את שני הגבולות - ולכן גם את הרוחב - ב־$k$. בכפל שלילי הגבול התחתון הופך לעליון ולהפך, והרוחב מוכפל ב־$\lvert k \rvert$.

דוגמה מלאה, שבה גם $a$ וגם $b$ שונים מן הערכים הפשוטים: טמפרטורה בצלזיוס ובפרנהייט. הטרנספורמציה $F = 1.8C + 32$ היא ליניארית עם קבוע הזזה ($32$) וגם קבוע כפל ($1.8$), ואפשר לאמת עליה כל שורה במטריצה. הטמפרטורות בחמש ערים ביום מסוים, בצלזיוס:

הממוצע עובר את שתי הפעולות בדיוק: $1.8 \times 11.8 + 32 = 53.24$. סטיית התקן מוכפלת רק ב־$1.8$: $1.8 \times 5.15 = 9.28$. והשונות - השורה שהכי הרבה טועים בה - מוכפלת ב־$1.8^2$ ולא ב־$1.8$:

$1.8^2 \times 26.56 = 3.24 \times 26.56 = 86.05$

בדיוק המספר בטבלה. שימו לב מה עשתה כאן כל פעולה בנפרד: ה־$32$ הזיז את הממוצע ואת החציון, אבל לא נגע באף מדד פיזור - ירושלים וצפת רחוקות זו מזו $3$ מעלות צלזיוס, וגם אחרי הוספת $32$ לשתיהן ההפרש נשאר. ה־$1.8$, לעומת זאת, נגע בכולם. זו הסיבה שבכלל צריך לזכור את מטריצת ההשפעות: המרת יחידות היא המקום שבו טרנספורמציה ליניארית קורית בפועל, לא רק תרגיל בכללים.

איך ניגשים לשאלת טרנספורמציה

השאלות בפרק נפתרות כמעט תמיד לפי אותו סדר, ומי שמתחיל מחיפוש נוסחה מפסיד את הקיצור. חמישה צעדים:

1. מה השתנה? הוסיפו קבוע, הכפילו בקבוע, שינו רק חלק מהציונים, או הוסיפו או הסירו נבדק.
2. האם השינוי אחיד? אם לא כל התצפיות עברו את אותו שינוי - הטבלה אינה חלה, וחוזרים לסעיף שלושת סוגי השינויים.
3. אם זו הכפלה - מה סימן הקבוע? חיובי ← הסדר נשמר. שלילי ← הסדר מתהפך, וגם $Z$ ו־$r$ הופכים סימן.
4. על איזה סוג מדד שואלים? מדד מרכז (ממוצע, חציון, שכיח), מדד פיזור (טווח, תחום בין־רבעוני, סטיית תקן, שונות), מדד מיקום יחסי ($Z$, אחוזון, דירוג) או מדד קשר ($r$, $R^2$). כל משפחה מתנהגת אחרת, וזיהוי המשפחה כבר מצמצם את התשובה לשורה אחת.
5. חוזרים לרעיון, לא לשינון. הוספה ← הזזה. כפל ← מתיחה. כפל שלילי ← מתיחה והיפוך. שונות ← ריבועי מרחקים.

מה שורד טרנספורמציה - מיקום ומתאם

בהוספת קבוע ובהכפלה בקבוע חיובי ציון התקן אינו משתנה כלל; רק הכפלה בקבוע שלילי הופכת את סימנו (האלגברה - בתת־היחידה על הזזה ומתיחה). זו ההוכחה שציון תקן הוא מדד מיקום יחסי ולא ערך מוחלט, וזו גם דרך מהירה לענות על שאלות בלי לחשב דבר: נבחן עם $Z = 1.2$, שהמרצה הוסיף לכיתתו $8$ נקודות, נשאר עם $Z = 1.2$ בדיוק. הטעות הנפוצה: לחבר את הקבוע אל ציון התקן עצמו ולקבל $1.2 + 8 = 9.2$, כאילו $Z$ נמדד ביחידות הגלם.

וההסבר בלי אלגברה, אם הוא נוח יותר. ציון תקן מתאר מיקום יחסי. כשהמרצה מוסיף $8$ נקודות לכל הכיתה, גם הממוצע עולה ב־$8$, ולכן המרחק של הנבחן שלנו מהממוצע נשאר בדיוק כפי שהיה; וסטיית התקן, הסרגל שמודדים בו את המרחק הזה, לא השתנתה - ולכן גם $Z$ לא. (ש"לא עקף אף אחד" נכון, אבל זה מסביר רק שהדירוג נשמר; את $Z$ שומרים המרחק והסרגל.) אותו היגיון עובד גם על הכפלה: אם מכפילים את כל הציונים פי $3$, המרחק שלו מהממוצע גדל פי $3$ - אבל גם סטיית התקן גדלה פי $3$, ולכן היחס ביניהם, שהוא בדיוק $Z$, נשמר.

מכאן גם למה טעות החיבור נראית סבירה ואינה: $Z = 1.2$ ו־$8$ הנקודות אינם נמדדים באותן יחידות כלל. $8$ הן נקודות מבחן; $1.2$ הוא מספר חסר יחידות. חיבור של השניים הוא כמו חיבור של מטרים לקילוגרמים.

מתקננים את כולן יחד או כל קבוצה בנפרד

כשכמה קבוצות עוברות תקנון לפי הממוצע וסטיית התקן של כל המדגם, זו אותה טרנספורמציה לכולם. אם הפרש הממוצעים היה $10$ נקודות וסטיית התקן הכללית היא $5$, ההפרש נעשה $10/5=2$ יחידות תקן: הוא נשמר ביחידות חדשות.

בתקנון בתוך כל קבוצה בנפרד, לעומת זאת, מחסרים מכל קבוצה את הממוצע שלה ומחלקים בסטיית התקן שלה. בהנחה שבכל קבוצה סטיית התקן חיובית, ממוצע כל קבוצה נעשה $0$ וסטיית התקן שלה $1$. ההבדלים בין ממוצעי הקבוצות נמחקו, גם אם לפני התקנון היו גדולים. ציוני התקן האלה מתארים מיקום ביחס לקבוצה המקומית; הם אינם שומרים על הבדלי הממוצעים בין הקבוצות.

דירוג ואחוזון - מיקום מול ערך

טרנספורמציה ליניארית עולה (מקדם כפל חיובי) שומרת על הסדר בין כל שתי תצפיות, ולכן הדירוג היחסי והאחוזון של כל תצפית אינם זזים. ההבחנה בין מיקום לערך היא בדיוק מה שהשאלות בודקות: מיקום - דירוג, אחוזון וציון תקן - אינו משתנה, ואילו הערך שנמצא באותו מיקום כן משתנה לפי כלל הטרנספורמציה. הוסיפו $6$ נקודות לכל התצפיות: בדיוק אותה תצפית נשארת באחוזון ה־$15$, אבל הערך שלה גדל ב־$6$. עם מקדם כפל שלילי הדירוג מתהפך לחלוטין. הטעות הנפוצה: לחשוב שהערך באחוזון מסוים אינו משתנה, או שהדירוג מתערבב בטרנספורמציה עולה.

בתמונה מסומנת אותה תצפית לפני ההוספה ואחריה: השטח שמשמאלה נשאר $15\%$ בשתי ההתפלגויות, ורק המספר שמתחת לקו זז מ־$62$ ל־$68$.

שתי השאלות שנשמעות זהות ואינן. נניח שתלמיד נמצא באחוזון $15$, ומוסיפים $6$ נקודות לכל התלמידים:

האחוזון הוא כתובת בהתפלגות; הציון באחוזון הוא מה שגר בכתובת הזו. הכתובת לא זזה, הדייר כן השתנה. שאלת בחינה שנראית כמו סתירה היא כמעט תמיד שאלה שמערבבת בין השניים.

וההבחנה הזו מסבירה מיד את שני הכיוונים: כשמקדם הכפל חיובי אף תצפית אינה עוקפת אחרת, ולכן כל הכתובות נשמרות - דירוג, אחוזון וציון תקן. כשהמקדם שלילי הסדר מתהפך כולו, ולכן מי שהיה באחוזון $90$ יימצא באחוזון $10$.

שאלת הדגל - מה קורה למתאם

המתאם $r$ הוא מדד חסר יחידות בין $-1$ ל־$+1$, ולכן הוא אדיש לשינויי סולם: הוספת קבוע והכפלה בקבוע חיובי אינן נוגעות בו כלל, והכפלה בקבוע שלילי הופכת רק את סימנו. $R^2 = r^2$, ולכן הוא אדיש לכל טרנספורמציה ליניארית - גם לשלילית, כי הריבוע מוחק את הסימן. מכאן התשובה לשאלת הדגל של היחידה, "לכל הציונים הוסיפו $5$ והכפילו ב־$2$ - מה קרה למתאם עם משתנה אחר?": כלום. אילו הכפילו ב־$-2$, המתאם היה הופך סימן ושומר על גודלו - $r = 0.8$ היה נעשה $-0.8$, אבל $R^2 = 0.64$ לפני ואחרי. הטעות הנפוצה: להכפיל את $r$ בקבוע, או לדווח $R^2$ שלילי - במודל הרגרסיה הרגיל שנלמד כאן $R^2$ אינו שלילי.

הכיוון, לעומת זאת, כן יכול להתהפך. נניח $r = 0.8$ ומכפילים משתנה אחד ב־$(-1)$: כל מי שהיה גבוה נעשה נמוך, ולכן קשר חיובי הופך לשלילי בעוצמה זהה - $r = -0.8$. ו־$R^2$?

$R^2 = 0.8^2 = 0.64 \qquad R^2 = (-0.8)^2 = 0.64$

זהה לפני ואחרי. הריבוע מוחק את הסימן, ולכן $R^2$ הוא המדד היחיד בכל הפרק ששורד כל טרנספורמציה ליניארית בלי יוצא מן הכלל.

שאלת בחינה טיפוסית. "המתאם בין $X$ ל־$Y$ הוא $0.8$. הכפילו את כל ערכי $Y$ ב־$(-1)$ - מה קרה?" התשובה בשתי שורות: $r = -0.8$, ואילו $R^2 = 0.64$ כפי שהיה. והמסיח שכדאי לזהות מרחוק: מי שהכפילו את $Y$ פי $5$ אינו מקבל $r_{\text{new}} = 5r$; מתאם אינו מוכפל בקבוע לעולם.

רגרסיה: השיפוע כיחס יחידות

כדי לקרוא את הסעיף לא צריך לדעת רגרסיה, אלא רק מה מסמנת כל אות בקו הניבוי $Y' = a + bX$:

• $Y'$ הוא הערך המנובא: נותנים $X$, הקו מחזיר את הניחוש הטוב ביותר ל־$Y$.
• $b$ הוא השיפוע: בכמה יחידות של $Y$ זז הניבוי לכל יחידה אחת של $X$.
• $a$ הוא החותך: ערך הניבוי כאשר $X = 0$ - הגובה שבו הקו חוצה את הציר האנכי.

זה כל מה שנדרש. השיטה שמאחורי הקו, השאריות והשונות המוסברת מגיעות ביחידת הרגרסיה, ואינן משנות שום שורה בטבלה שלהלן.

השיפוע הוא יחס יחידות

הנקודה היחידה שצריך לתפוס: $b$ הוא יחס יחידות - יחידות $Y$ לכל יחידת $X$ - ולכן, בשונה משאר הפרק, כאן חייבים לשאול איזה משתנה עבר את הטרנספורמציה. זו השורה היחידה שאינה סימטרית בין שני המשתנים. הכפלת $Y$ ב־$k$ ← $b$ מוכפל ב־$k$, וגם החותך $a$. הכפלת $X$ ב־$k$ ← $b$ מתחלק ב־$k$, ו־$a$ אינו משתנה. הוספת קבוע לאחד מהם ← השיפוע ללא שינוי והחותך משתנה. גודל $r$ ו־$R^2$ אינם משתנים מכל אלה; סימן $r$ מתהפך אם בדיוק אחד המשתנים הוכפל בקבוע שלילי. שיפוע $3$, הכפלת $Y$ ב־$2$ ← השיפוע החדש הוא $6$; אילו הכפילו את $X$, היה מתקבל $1.5$. הטעות הנפוצה: להחליף בין הכפלת $X$ להכפלת $Y$ ולחלק במקום להכפיל.

שלושת הקווים בתמונה מצוירים על אותם צירים בדיוק, ולכן ההבדל נראה לעין: הכפלת $Y$ מזקיפה את הקו והכפלת $X$ משטיחה אותו, אף שהקבוע שהוכפל בו זהה בשתיהן.

הזזת $X$ ב־$c$ מזיזה את החותך ב־$-b \cdot c$, כי הניבוי ב"אפס החדש" הוא הניבוי שהיה ב־$-c$.

כל שורה בטבלה נובעת ישירות מ"יחידות $Y$ לכל יחידת $X$":

• הכפלת $Y$ ב־$k$ - הניבוי נמדד ביחידות גדולות פי $k$, ולכן $b$ מוכפל ב־$k$.
• הכפלת $X$ ב־$k$ - כל יחידה ישנה של $X$ נעשתה $k$ יחידות חדשות (שעה היא $60$ דקות), ולכן השינוי ב־$Y$ ליחידה חדשה קטן פי $k$: $b$ מתחלק ב־$k$.
• הוספת קבוע - הקו רק מוסט, נטייתו זהה, ולכן רק החותך משתנה.

אותה טרנספורמציה, שני כיוונים הפוכים. שיפוע $b = 3$ שמוכפל פי $2$ - פעם אחת ב־$Y$ ופעם אחת ב־$X$:

$b_{\text{new}} = 2 \times 3 = 6 \qquad b_{\text{new}} = \frac{3}{2} = 1.5$

אותו מספר, אותו קבוע - ותוצאה הפוכה, רק בגלל צד השבר שבו נגעה הטרנספורמציה. והמתאם ו־$R^2$ חסרי יחידות לחלוטין, ולכן הם אדישים לכל אלה.

סיכום: מה משתנה ומה נשאר

"לכל הנבחנים הוסיפו $7$ נקודות, מה קרה לסטיית התקן?" זו התבנית של היחידה, ולפני כל נוסחה מסתתרות בה שתי שאלות: איזה סוג שינוי זה, ועל איזה סוג מדד שואלים. היחידה כולה היא טבלה אחת, וכל השאר הוא מתי מותר להשתמש בה.

המטריצה

למה כל שורה יוצאת כך

• השאלה שמכריעה: מה קרה למרחקים בין התצפיות? $10, 20, 30$ ועוד $5$: המרחק נשאר $10$, הזזה. כפול $2$: המרחק $20$, מתיחה. כל מדדי הפיזור מודדים מרחקים, ולכן הוספת קבוע לא נוגעת באף אחד מהם.
• השונות פי $k^2$ כי המכפיל נכנס פעמיים. תצפית במרחק $2$ תרמה $4$; אחרי כפול $3$ היא במרחק $6$ ותורמת $36$. סטיית התקן היא השורש, והריבוע מתקזז. שתיהן אינן שליליות, ויכולות להיות אפס.
• $Z$ שורד כי המרחק והסרגל זזים יחד. הוסיפו $8$: גם הממוצע עלה ב־$8$. הכפילו ב־$3$: המרחק פי $3$ וגם $S$ פי $3$. ו־$Z$ ונקודות אינם באותן יחידות: $1.2 + 8 = 9.2$ הוא מטרים ועוד קילוגרמים.
• כפל שלילי הופך סדר. $1 < 2 < 3$ נעשה $-3 < -2 < -1$; הגבוה נעשה נמוך ולהפך.
• האחוזון הוא כתובת, הציון באחוזון הוא הדייר. הוסיפו $6$ לכולם: אותה תצפית נשארת באחוזון $15$, אבל ציונה עלה מ־$62$ ל־$68$.
• $r$ חסר יחידות, ולכן אדיש לסולם. "הוסיפו $5$ והכפילו ב־$2$, מה קרה למתאם?" כלום. כפול $(-1)$: $0.8$ נעשה $-0.8$, ו־$R^2 = 0.64$ לפני ואחרי. גודל המכפיל אינו משפיע על עוצמת המתאם.
• השיפוע הוא יחס יחידות, $Y$ לכל יחידת $X$, ולכן הכפלת $Y$ מכפילה אותו והכפלת $X$ מחלקת אותו. שיפוע $3$: $Y$ כפול $2$ נותן $6$, $X$ כפול $2$ נותן $1.5$. זו השורה היחידה שבה משנה איזה משתנה השתנה.
• צלזיוס לפרנהייט מאמת הכול. $F = 1.8C + 32$: ממוצע $11.8 \to 53.24$, סטיית תקן $5.15 \to 9.28$ (רק $1.8$), שונות $26.56 \to 86.05$ ($1.8^2$).
• תקנון משותף ותקנון נפרד אינם אותה פעולה. סרגל אחד לכל המדגם שומר על הבדלי הממוצעים ביחידות חדשות; בתקנון נפרד כל קבוצה מקבלת ממוצע $0$, ולכן ההבדלים בין ממוצעי הקבוצות נמחקים.

מתי הטבלה לא חלה

שלושה סוגי שינוי, ורק לראשון יש טבלה:

1. אחיד וליניארי: "לכולם", אותה הוספה ואותה הכפלה. אין מה לחשב.
2. חלקי, או אחיד אבל לא ליניארי: תוספת $10$ רק למי שמתחת ל־$60$, או העלאת כולם בריבוע. מחשבים מחדש, ואפילו כיוון אינו מובטח: מי שעלה מ־$59$ ל־$69$ עקף את מי שהיו בין $60$ ל־$68$ ולא קיבלו תוספת, ובקבוצה צפופה הפיזור גדל.
3. שינוי במספר הנתונים: דרך הסכום $\sum X = M \times N$. תצפית חדשה ששווה לממוצע: הממוצע לא זז, השונות קטנה, והחציון יכול לזוז כשהמספר עובר מאי־זוגי לזוגי.

מה חוזר בטעויות

1. להחיל את הטבלה על שינוי חלקי, או על שינוי אחיד שאינו ליניארי.
2. להוסיף את הקבוע לסטיית התקן ($7$ במקום ללא שינוי).
3. להכפיל שונות ב־$k$ במקום ב־$k^2$ ($12$ במקום $36$), או לרבע דווקא את סטיית התקן ($54$ במקום $18$).
4. לדווח סטיית תקן שלילית ($-18$ במקום $18$).
5. לחבר קבוע לציון תקן ($9.2$ במקום $1.2$), או להכפיל בו את $r$ ($5r$ במקום $r$).
6. לחשוב שהערך באחוזון אינו משתנה, או שהדירוג מתערבב בטרנספורמציה עולה.
7. לחלק את השיפוע כשהוכפל $Y$ ($1.5$ במקום $6$).

בדקו את עצמכם

• למה הוספת קבוע משאירה את ציוני התקן, ואילו כפל שלילי הופך את סימנם?
• מה משתנה כשמוסיפים בונוס רק לחלק מהנבחנים?
• למה שינוי יחידות שומר על עוצמת המתאם אך משנה שיפוע?
• מה נשמר בתקנון משותף לקבוצות ונמחק בתקנון נפרד?

ציוני תקן מנורמלים

השם מטעה: אין לו שום קשר להתפלגות הנורמלית - "מנורמל" פירושו כאן רק מעבר לסולם נוח שנקבע מראש. בפועל כמעט אף פעם לא מדווחים $Z$ גולמי, כי מספרים שליליים ועשרוניים אינם נוחים; לכן מעבירים את ציוני התקן לסולם קבוע, בעזרת אותה נוסחה בדיוק:

$X_{\text{new}} = M_{\text{new}} + Z \cdot S_{\text{new}}$

סולם המתא"ם והפסיכומטרי בנויים סביב ממוצע $100$ וסטיית תקן $20$, ומנת משכל סביב $100$ ו־$15$. נבחן עם $Z = +1.5$ יקבל בסולם המתא"ם $100 + 1.5 \times 20 = 130$. הטעות הנפוצה: לחבר את ציון התקן במקום להכפילו בסטיית התקן החדשה, ולקבל $101.5$ במקום $130$. ציון התקן הוא תמיד תחנת המעבר בין שני סולמות - אין קיצור דרך ישיר.

למה בכלל טורחים. דמיינו דוח שמדווח לנבחנים "קיבלת $-1.3$" או "קיבלת $0.4$". המספרים נכונים לגמרי, אבל שליליים ועשרוניים - ולכן קשים לקריאה ופתוחים לאי־הבנה. סולם מנורמל פותר בדיוק את זה: בוחרים ממוצע וסטיית תקן נוחים, ומעבירים אליהם את כל הנבחנים.

ההמרה בארבעה צעדים. (א) מחשבים את $Z$ בסולם המקורי; (ב) לוקחים את $M_{\text{new}}$ של הסולם המבוקש; (ג) לוקחים את $S_{\text{new}}$ שלו; (ד) מציבים בנוסחה. על נבחן עם $Z = +1.5$ בסולם המתא"ם:

$X_{\text{new}} = 100 + 1.5 \times 20 = 100 + 30 = 130$

והמלכודת נראית עכשיו במלוא גודלה: הצעד שאסור לדלג עליו הוא ההכפלה ב־$S_{\text{new}}$. $1.5$ הוא סטיות תקן, ובסולם הזה סטיית תקן אחת שווה $20$ נקודות - ולכן $1.5$ סטיות שוות $30$ נקודות, לא $1.5$ נקודות. מי שמחבר ישירות מקבל $101.5$: ציון שנמצא כמעט בדיוק בממוצע, במקום ציון שנמצא סטייה וחצי מעליו.

בפסיכומטרי, ציוני התחומים מדווחים בסולם $50$–$150$ שנבנה סביב $100/20$; הציון הכללי מדווח בסולם אחר - $200$–$800$, סביב $500/100$. אין לערבב בין שני הסולמות.

מה נשמר במעבר

זו טרנספורמציה ליניארית ככל אחרת - $X_{\text{new}} = M_{\text{new}} + Z \cdot S_{\text{new}}$ היא בדיוק מהצורה $a + bX$ עם $b = S_{\text{new}}$ חיובי - ולכן הדירוג בין הנבחנים נשמר, המיקום היחסי נשמר, והמתאם בין הציון לכל משתנה אחר אינו משתנה. במילים אחרות: הסולם המנורמל אינו מוסיף ואינו גורע שום מידע, אלא רק מלביש אותו במספרים נוחים.

כלל 68–95–99.7 ואחוזונים

בתת־היחידה הקודמת המעבר לסולם חדש עבד תמיד, כי הוא רק החליף יחידות. המעבר לאחוזים הוא מהלך אחר: הוא שואל כמה תצפיות נמצאות בטווח, וזו שאלה על צורת ההתפלגות. לכן כאן, בפעם הראשונה בפרק, יש תנאי. את כלל $68$–$95$–$99.7$ פגשנו כבר בפרק היסודות כתכונה של העקומה הנורמלית; כאן ציון התקן נותן לו כתובת.

כשההתפלגות נורמלית, ציון התקן מתרגם ישירות לאחוזים: כ־$68\%$ מהתצפיות נמצאות בין $\pm 1$ סטיות תקן מהממוצע, כ־$95\%$ בין $\pm 2$ וכ־$99.7\%$ בין $\pm 3$. בבחינה אין טבלת $Z$ ואין מחשבון, ולכן הכלים היחידים הם הכלל הזה, הסימטריה וההשלמה ל־$100\%$. האחוזים האלה הם גם הסתברויות: הסיכוי שתצפית שנבחרה באקראי תיפול בטווח מסוים שווה לחלק היחסי של התצפיות שנמצאות בו, כלומר לשטח מתחת לעקומה באותו טווח. מחוץ ל־$\pm 1$ נשארים $32\%$, כלומר כ־$16\%$ בכל זנב, ומחוץ ל־$\pm 2$ נשארים $5\%$, כלומר כ־$2.5\%$ בכל זנב. הטעות הנפוצה: לשכוח לחלק את השטח החיצוני לשני זנבות ולענות $5\%$ במקום $2.5\%$, ולהחיל את הכלל על התפלגות שאינה נורמלית.